problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

solution postée
voici la solution de yalcin
n+1)U(n+1)-nU(n)=(n+1)[(n/(n+1))U(n)+1/(n+1)²]-nU(n)=nU(n)+1/(n+1)-nU(n)=1/(n+1)

D'où par téléscopage et comme U(1)=1 ,on obtient : U(n)=(1/n)H(n) , avec H(n)=Sum(1/k,k=1..n)

Or on a H(n)~ln(n) , et ln(n)/n --> 0 ,d'où U(n) --> 0

SALUT TT LE MONDE ;
SOLUTION POSTEE'
voici la solution de selfersept
1)
on remarque que : kUk-(k-1)U(k-1)=1/k
sommation ==> Uk=1+1/2+1/3+...1/n
2) limite de Un :
on applique le TAF sur la fct x-->ln(x) dans les intervales [k,k+1]
on trouve 1/(k+1)

Bonsoir ;
Solution postée

voici la solution d'elhor

solution postée
voici la solution de wiles
(je me suis servi d'un telescopage pour trouver le resultat mais j'ai preféré proceder a la reccurence pour le demontrer car c'est plus facile)
prouvons que Un=1/n(1/n+..+1/2+1)
pour n=1c'est trvial
supposons que Un=1/n(1/n+..+1/2+1)
on a U(n+1)=Un*n/(n+1)+1/(n+1)^2
=1/n(1/n+..1)*n/(n+1)+1/(n+1)^2
=1/(n+1)*(1/n+..1+1/(n+1))
=1/(n+1)(1/(n+1)+..+1)
reccurence achevée
on a pas encore fait les limites des suites mais je vais quand mm essayer
Un=1/n^2+1/n(n-1)+..+1/n
on remarque que quand n tend vers 00 chaque terme tend vers 0 alors Un tends vers 0

Bonjour Mr SAMIR!!
Solution au Pb 87 postée.
Amitiés !!! LHASSANE

voici la solution de Bourbaki
Bonjour Mr SAMIR.
Voici ma proposition de solution pour le problème de la Semaine Numéro 87.

Introduisons la suite auxilliaire {wk}k définie par la relation
wk=k.uk pour tout entier naturel k >=1 avec w1=1.U1=1
Alors , il vient que l’on a :
wk+1=wk+(1/k+1) pour tout entier k>=1 (*)
On écrit cette relation pour k=1,2,3………,n-1 et on fait la somme TELESCOPIQUE pour obtenir :
wn=w1+(1/2)+(1/3)+……..+(1/n)=(1/1)+(1/2)+(1/3)+……+(1/n)
Il en résultera que :
un=(1/n).wn = (1/n).{(1/1)+(1/2)+(1/3)+……+(1/n)}
pour tout n>=1 .
Cherchons maintenant la limite de cette dernière suite , à première vue un est le produit d’une suite convergente et d’une suite divergente ( Série Harmonique )…….
Mais , après reflexion , on s’aperçoit que {un}n est en fait la Moyenne de Césaro de la suite {1/n}n convergente elle vers 0 et donc le THEOREME de CESARO permet de conclure que la suite proposée {un}n est convergente aussi vers 0 .

Ce qui termine la solution.
A++. BOURBAKI

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour,
(n+1)U_(n+1)-nU_n=1/(n+1)
==> (n+1)U_(n+1)-1=1/(n+1)+1/n+...+1/2
==> U_n=(1+1/2+...+1/n)/n et lim U_n=0 ( Césaro)
A+

Bonjour !

Solution postée ...
Bonjour Samir.

voici la solution de robalro

1°)

U(n) = [(n-1)/n].U(n-1) + 1/n²

U(n-1) = [(n-2)/(n-1)].U(n-2) + 1/(n-1)²

...

U(k) = [(k-1)/k].U(k-1) + 1/k²

...

U(2) = [(2-1)/2].U(1) + 1/2²

Soit :

U(n) = [(n-1)/n].U(n-1) + 1/n²

[(n-1)/n]U(n-1) = [(n-2)/n].U(n-2) + 1/[n.(n-1)]

...

D'où en sommant ces n-1 lignes, on a :

U(n) = (1/n).[ 1 + sum(k=2,n) 1/k ] = (1/n).sum(k=1,n) 1/k

Or sum(k=1,n) 1/k ~ (n tend +oo) log(n)

D'où :

lim (n->+oo) U(n) = 0

A+
(sauf erreurs ...)

Salut

Est-ce bien u(n+1) et u(n) qui apparaissent dans la relation ?

C'ets écrit tellement petit

salut amateurs de maths
solution postee
voici la solution de g_niti_akon
on a



.
.
.





donc



.
.
.


en sommant on a :


enfin limUn=0

merci

thomas a écrit:

Salut

Est-ce bien u(n+1) et u(n) qui apparaissent dans la relation ?

C'ets écrit tellement petit

salut thomas voila


a+

merci

SALAM

Solution postée

voici la solution de math_pro

salut tout le monde
solution postée
Voici la solution d’aissa

salut samir
par une simple recurrence on montre que
Un = 1/n * sum(k=1^n, 1/k)
U n est equivalente à ln(n)/n qui tend vers o alors
lim Un=o.
(on oeut aussi faire une comparaison avec l'integral en utilisant la fonction x -> 1/x.)

Bonjour,

Solution postée.
voici la solution d'infophile

Bonjour

solution postée

Voici la solution de khamaths

Bonjour Samir

Posons: V_n = nU_n pour tt n ¤ IN*

On a : V_{n+1}- V_n = 1 /(n+1) et V1 = 1 pour tt n ¤ IN*

=====> V_n = Sum _k=1^n (1/k)

=====> U_n = 1/n Sum_k=1^n(1/k) = Sum _k=1^n (1/ (kn))

=====> Lim U_n =0

Solution postée

voici la solution de Raa23

n*Un=(n-1)*Un-1 + 1/n

donc

Un=1/n*sum(1/K,k=1..n)

et

Un ~ ln(n)/n -> 0 (qd n-> infiny)

Raa23

solution postee
voici la solution de pivot_de_gauss
U1=1
U2=1/2 + 1/4
U3=1/3 + 1/6 1/9
................................
Un= 1/n + 1/2n + 1/3n +.........+ 1/n² = 1/n ( 1 +1/2 +1/3 +......+1/n )

lim Un = 0
n->+oo

solution postee
voici la solution de badr


on a u_(n+1)=n/(n+1)u_n+1/(n+1)²

(n+1) u_(n+1)-u_n*n=1/(n+1)

2u_2-u_1=1/2

3u_3-2u_2=1/3
.........
....
....
nu_n-(n-1)u_(n-1)=1/n

en additionnant ces egalites memdre a membre on obtient

nu_n-u_1=1/2+1/3+......+1/n

nu_n-1=(n-1)(n+2)/4n

u_n=(n-1)(n+2)+4n/4n² (qq soit n£N*)


lim(u_n)=lim(u_n)n²/4n²=1/4
(n tend a +00)

SALUT TOUT LE MONDE
SOLUTION POSTEE
voici la solution de FOUAD

I) On a U(n+1) = U(n).(n/n+1) + 1/(n+1)² n ε IN*
(n+1).U(n+1) - nU(n) = 1/(n+1)

Donc 2U(2) – U(1) = 1/2
3U(3) – 2U(2) = 1/3
4U(4) – 3U(3) = 1/4
. . .
. . .
. . .
nU(n) – (n-1).U(n-1) = 1/n

D’où n.U(n) – U(1) = 1/2+1/3+1/4+….+1/n

U(n) =1/n.( 1+1/2+1/3+1/4+….+1/n )

II) pour la limite :
On a lim (1+1/2+1/3+1/4+….+1/n) > 1
Donc lim U(n) = 0


Et merci

solution postée
voici la solution de conan
on a : u_1 = 1

et

1)

posant : a = n/(n+1) et b= 1/(n+1)²

donc : U_(n+1) = a U_n +b , et posant T_n = U_(n+1) - U_n

donc : T_n = a T_(n-1) (suite géometrique)

=> T_n = a^(n-1) T_1 = a^(n-1) (u_2 - u1) = a^(n-1) (-1/4)


donc : T_n = -a^(n-1) /4

et on a : T_1+T_2+.....+T_(n-1) = T_1* (1-a^(n-1))/(1-a)

<=> (U_2-U_1)+(U_3-U_2)+....+(U_n-U_(n-1)) = T_1* (1-a^(n-1))/(1-a)

<=> U_n - U_1 = -1/4 (1-a^(n-1))/(1-a)

<=> U_n = -1/4 (1-a^(n-1))/(1-a) + 1

<=> U_n = [ ( (n^(n-1) - (n+1)^(n-1) )/4(n+1)^(n-2) ] + 1

2)

on a : IaI <1


donc : lim_n->00{u_n} = b/(1-a) = 1/(1+n)

(sauf erreur bien entendu)