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 problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)

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samir
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MessageSujet: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyLun 25 Juin 2007, 21:18

problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) Proble16
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyLun 25 Juin 2007, 21:20

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci
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Yalcin
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problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) Empty
MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyLun 25 Juin 2007, 21:46

solution postée
voici la solution de yalcin
n+1)U(n+1)-nU(n)=(n+1)[(n/(n+1))U(n)+1/(n+1)²]-nU(n)=nU(n)+1/(n+1)-nU(n)=1/(n+1)

D'où par téléscopage et comme U(1)=1 ,on obtient : U(n)=(1/n)H(n) , avec H(n)=Sum(1/k,k=1..n)

Or on a H(n)~ln(n) , et ln(n)/n --> 0 ,d'où U(n) --> 0
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radouane_BNE
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radouane_BNE


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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyLun 25 Juin 2007, 21:58

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته
Solution postée.

voici la solution de radouane
problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) Radoua10
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selfrespect
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyLun 25 Juin 2007, 23:03

SALUT TT LE MONDE ;
SOLUTION POSTEE'
voici la solution de selfersept
1)
on remarque que : kUk-(k-1)U(k-1)=1/k
sommation ==> Uk=1+1/2+1/3+...1/n
2) limite de Un :
on applique le TAF sur la fct x-->ln(x) dans les intervales [k,k+1]
on trouve 1/(k+1)
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyMar 26 Juin 2007, 01:03

Bonsoir ;
Solution postée farao

voici la solution d'elhor

problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) Elhor810
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wiles
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyMar 26 Juin 2007, 07:06

solution postée
voici la solution de wiles
(je me suis servi d'un telescopage pour trouver le resultat mais j'ai preféré proceder a la reccurence pour le demontrer car c'est plus facile)
prouvons que Un=1/n(1/n+..+1/2+1)
pour n=1c'est trvial
supposons que Un=1/n(1/n+..+1/2+1)
on a U(n+1)=Un*n/(n+1)+1/(n+1)^2
=1/n(1/n+..1)*n/(n+1)+1/(n+1)^2
=1/(n+1)*(1/n+..1+1/(n+1))
=1/(n+1)(1/(n+1)+..+1)
reccurence achevée
on a pas encore fait les limites des suites mais je vais quand mm essayer
Un=1/n^2+1/n(n-1)+..+1/n
on remarque que quand n tend vers 00 chaque terme tend vers 0 alors Un tends vers 0
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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyMar 26 Juin 2007, 10:09

Bonjour Mr SAMIR!!
Solution au Pb 87 postée.
Amitiés !!! LHASSANE

voici la solution de Bourbaki
Bonjour Mr SAMIR.
Voici ma proposition de solution pour le problème de la Semaine Numéro 87.

Introduisons la suite auxilliaire {wk}k définie par la relation
wk=k.uk pour tout entier naturel k >=1 avec w1=1.U1=1
Alors , il vient que l’on a :
wk+1=wk+(1/k+1) pour tout entier k>=1 (*)
On écrit cette relation pour k=1,2,3………,n-1 et on fait la somme TELESCOPIQUE pour obtenir :
wn=w1+(1/2)+(1/3)+……..+(1/n)=(1/1)+(1/2)+(1/3)+……+(1/n)
Il en résultera que :
un=(1/n).wn = (1/n).{(1/1)+(1/2)+(1/3)+……+(1/n)}
pour tout n>=1 .
Cherchons maintenant la limite de cette dernière suite , à première vue un est le produit d’une suite convergente et d’une suite divergente ( Série Harmonique )…….
Mais , après reflexion , on s’aperçoit que {un}n est en fait la Moyenne de Césaro de la suite {1/n}n convergente elle vers 0 et donc le THEOREME de CESARO permet de conclure que la suite proposée {un}n est convergente aussi vers 0 .

Ce qui termine la solution.
A++. BOURBAKI
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui


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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyMar 26 Juin 2007, 11:47

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour,
(n+1)U_(n+1)-nU_n=1/(n+1)
==> (n+1)U_(n+1)-1=1/(n+1)+1/n+...+1/2
==> U_n=(1+1/2+...+1/n)/n et lim U_n=0 ( Césaro)
A+
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robalro
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyMar 26 Juin 2007, 12:44

Bonjour !

Solution postée ...
Bonjour Samir.

voici la solution de robalro

1°)

U(n) = [(n-1)/n].U(n-1) + 1/n²

U(n-1) = [(n-2)/(n-1)].U(n-2) + 1/(n-1)²

...

U(k) = [(k-1)/k].U(k-1) + 1/k²

...

U(2) = [(2-1)/2].U(1) + 1/2²

Soit :

U(n) = [(n-1)/n].U(n-1) + 1/n²

[(n-1)/n]U(n-1) = [(n-2)/n].U(n-2) + 1/[n.(n-1)]

...

D'où en sommant ces n-1 lignes, on a :

U(n) = (1/n).[ 1 + sum(k=2,n) 1/k ] = (1/n).sum(k=1,n) 1/k

Or sum(k=1,n) 1/k ~ (n tend +oo) log(n)

D'où :

lim (n->+oo) U(n) = 0

A+
(sauf erreurs ...)
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thomas
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyMar 26 Juin 2007, 14:12

Salut Smile

Est-ce bien u(n+1) et u(n) qui apparaissent dans la relation ?

C'ets écrit tellement petit Laughing
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saad007
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saad007


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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyMar 26 Juin 2007, 14:17

salut amateurs de maths
solution postee
voici la solution de g_niti_akon
on a problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) 7df02ec22be4180079c64b1f557e86bc

problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) 8006d131380696f08529bb6127ce3195

.
.
.

problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) 7c745ad20ebc0087688d4be38afec5e4



donc problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) Dbcaaf204a8cf7cd718e385994611b54

problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) C725834bde03a1182402ca4a30836642

.
.
.
problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) 2a0fd6559c71f0b3c848045b9facda88

en sommant on a : problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) A560f92d622303c4e64d0b99cd53982b


enfin limUn=0

merci Very Happy Smile
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saad007
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyMar 26 Juin 2007, 14:20

thomas a écrit:
Salut Smile

Est-ce bien u(n+1) et u(n) qui apparaissent dans la relation ?

C'ets écrit tellement petit Laughing

salut thomas voila
problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) E7cc27f22a66f654cf13a4c258e2a482

a+
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thomas
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyMar 26 Juin 2007, 15:00

merci Smile
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math_pro
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyMar 26 Juin 2007, 15:03

SALAM

Solution postée

voici la solution de math_pro


problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) Lahsen10
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aissa
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyMar 26 Juin 2007, 15:54

salut tout le monde
solution postée
Voici la solution d’aissa

salut samir
par une simple recurrence on montre que
Un = 1/n * sum(k=1^n, 1/k)
U n est equivalente à ln(n)/n qui tend vers o alors
lim Un=o.
(on oeut aussi faire une comparaison avec l'integral en utilisant la fonction x -> 1/x.)
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Infophile
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Infophile


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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyMar 26 Juin 2007, 17:01

Bonjour,

Solution postée.
voici la solution d'infophile

problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) Infsem10
problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) Infsem11
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khamaths
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyMar 26 Juin 2007, 19:42

Bonjour

solution postée

Voici la solution de khamaths

Bonjour Samir

Posons: V_n = nU_n pour tt n ¤ IN*

On a : V_{n+1}- V_n = 1 /(n+1) et V1 = 1 pour tt n ¤ IN*

=====> V_n = Sum _k=1^n (1/k)

=====> U_n = 1/n Sum_k=1^n(1/k) = Sum _k=1^n (1/ (kn))

=====> Lim U_n =0
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Raa23
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problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) Empty
MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyMar 26 Juin 2007, 20:22

Solution postée

voici la solution de Raa23

n*Un=(n-1)*Un-1 + 1/n

donc

Un=1/n*sum(1/K,k=1..n)

et

Un ~ ln(n)/n -> 0 (qd n-> infiny)

Raa23
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pivot_de_gauss
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyMer 27 Juin 2007, 01:04

solution postee
voici la solution de pivot_de_gauss
U1=1
U2=1/2 + 1/4
U3=1/3 + 1/6 1/9
................................
Un= 1/n + 1/2n + 1/3n +.........+ 1/n² = 1/n ( 1 +1/2 +1/3 +......+1/n )

lim Un = 0
n->+oo
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badr
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyVen 29 Juin 2007, 15:06

solution postee
voici la solution de badr


on a u_(n+1)=n/(n+1)u_n+1/(n+1)²

(n+1) u_(n+1)-u_n*n=1/(n+1)

2u_2-u_1=1/2

3u_3-2u_2=1/3
.........
....
....
nu_n-(n-1)u_(n-1)=1/n

en additionnant ces egalites memdre a membre on obtient

nu_n-u_1=1/2+1/3+......+1/n

nu_n-1=(n-1)(n+2)/4n

u_n=(n-1)(n+2)+4n/4n² (qq soit n£N*)


lim(u_n)=lim(u_n)n²/4n²=1/4
(n tend a +00)
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FOUAD80
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FOUAD80


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problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) Empty
MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyDim 01 Juil 2007, 17:27

SALUT TOUT LE MONDE
SOLUTION POSTEE
voici la solution de FOUAD

I) On a U(n+1) = U(n).(n/n+1) + 1/(n+1)² n ε IN*
(n+1).U(n+1) - nU(n) = 1/(n+1)

Donc 2U(2) – U(1) = 1/2
3U(3) – 2U(2) = 1/3
4U(4) – 3U(3) = 1/4
. . .
. . .
. . .
nU(n) – (n-1).U(n-1) = 1/n

D’où n.U(n) – U(1) = 1/2+1/3+1/4+….+1/n

U(n) =1/n.( 1+1/2+1/3+1/4+….+1/n )

II) pour la limite :
On a lim (1+1/2+1/3+1/4+….+1/n) > 1
Donc lim U(n) = 0


Et merci
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Conan
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Conan


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problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) Empty
MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) EmptyDim 01 Juil 2007, 23:42

solution postée
voici la solution de conan
on a : u_1 = 1

et problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007) E7cc27f22a66f654cf13a4c258e2a482

1)

posant : a = n/(n+1) et b= 1/(n+1)²

donc : U_(n+1) = a U_n +b , et posant T_n = U_(n+1) - U_n

donc : T_n = a T_(n-1) (suite géometrique)

=> T_n = a^(n-1) T_1 = a^(n-1) (u_2 - u1) = a^(n-1) (-1/4)


donc : T_n = -a^(n-1) /4

et on a : T_1+T_2+.....+T_(n-1) = T_1* (1-a^(n-1))/(1-a)

<=> (U_2-U_1)+(U_3-U_2)+....+(U_n-U_(n-1)) = T_1* (1-a^(n-1))/(1-a)

<=> U_n - U_1 = -1/4 (1-a^(n-1))/(1-a)

<=> U_n = -1/4 (1-a^(n-1))/(1-a) + 1

<=> U_n = [ ( (n^(n-1) - (n+1)^(n-1) )/4(n+1)^(n-2) ] + 1

2)

on a : IaI <1


donc : lim_n->00{u_n} = b/(1-a) = 1/(1+n)

(sauf erreur bien entendu)
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