problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

salut tout le monde.
Solution postée
Voici la solution de boukharfane radouane

On va factoriser A (n) sous forme de deux polynômes de deuxième degrés.
On a: n^4+2n^3-n^2+2n+1= (n²+An+B) (n²+Cn+D+)
= n^4+n^3*(A+C) +n^2*(B+D+AC) +n*(AD+BC) +BD
=>A+C=2; B+D+AC=-1; AD+BC=2; BD=1
=>B=D=1; A=3; C=-1.
D’où |A (n)|=| (n^2+3n+1) || (n^2-n+1)|
A (n) est premier =>n²+3n+1=1 ou n²+3n+1=-1 ou n²-n+1=1 ou n²-n+1=-1.
=>n=-3 ;-2 ;-1 ; 0 ; 1
Donc les valeurs convenables pour que A (n) soit premier n=-3 ;-2 ;-1 ; 1.

Salut
solution postée
voici la solution de selfrespect

Salut Mr Samir ,
on remarque que :
|An|=|n²-n+1||n²+3n+1|
|An| premier ==>
1)|n²-n+1|=1 ou
2) |n²+3n+1|=1
on trouve enfin n£{0,-3,1,-1,-2}
*reciproquement A(-2)=A0=1 nest pas premier.
S={1,-3,-1}

salut tt le monde
solution postée
vive les vaccances
voici la solution de saad007
l'astuce est de trouver une factorisation convenable
alors pour cela posons P(x)=ax²+bx+c et Q(x)=a'x²+b'x+c'
on développe le produit, et on identifie les coefficients.
(on trouve un systeme qui se resoud facilement:D a=a'=c=c=1ou-1
en fin de compte An=(n²-n+1) (n²+3n+1)
notons[]valeur absolue
alors [An]=(n²-n+1) [n²+3n+1]=p (p premier)
donc 1=(n²-n+1) ou 1=[n²+3n+1]
ce qui mene a la conclusion suivante n appartient a {-3,-2,-1,0,1}
merci a tous et a toutes on voila

Bonjour,

Solution postée.
Voici la solution Infophile
A(x) = x^4+2x^3-x²+2x+1 =(x²-x+1)(x²+3x+1)
Ainsi |A(x)| est premier ssi un des facteurs est égal à 1 (non tous les deux égal à 1) ou -1.
* x²-x+1 = 1 <=> x(x-1)=0 => x=0 ou x=1. Or x=0 => A(x)=1 qui n'est pas premier.

Pour x=1 on a |A(x)|=5 premier.
* x²+3x+1 = 1 <=> x(x+3)=0 => x=0 (à exclure) ou x=-3.

Pour x=-3 on a |A(x)|=13 premier.
* x²-x+1=-1 <=> x²-x+2=0 => Discriminant = -7 < 0 => pas de solutions
* x²+3x+1=-1 <=> x²+3x+2=0 Discriminant = 1 => x=-2 ou x=-1 (à exclure car |A(x)|=1)

Pour x=-2 on a |A(x)|=7 premier.
Donc S={-3,-2,1}
Sauf erreur.

Solution postée
Voici la solution de jerem
A(n)=n^4+2n^3-n^2+2n+1=(n^2-n+1)(n^2+3n+1)
pour n entier, (n^2-n+1) et (n^2+3n+1) sont des entiersqui divisent
A(n)
donc si A(n) est premier, alors (n^2-n+1)=+-1 ou (n^2+3n+1)=+-1
ce qui donne n= -3,-2,-1 ou 1
puis on vérifie que pour ces valeurs de n, A(n) est bien premier (en
valeur absolue)
Jerem

solution postééé

Voici la Solution de neutrino

A(n) = n^4++2n^3-n²+2n+1

bien surrrr A(n) est postif car n^4>=n² et 2n^3>=2n

donc abs [ A(n) ] = A(n)

or A(n) = (n²-1)² +n²+2n(n²+1) = (n²+1)² + 2n(n²+1) + n² -4n² = [ n²+n+1]²-4n² = [ n²-n+1][n²+3n+1]

soit p un nombre premier

ona alors

A(n)=[ n²-n+1][n²+3n+1]=p
p est positif et n²-n+1 et n²+3n+1 sont positifs ossiiiii
donc *) n²-n+1=p et n²+3n+1=1
==> n²-n+1=p et n=-3 ou n=0 [ 0 n'est po une solution car A(0)=1 et 1 n'est pas premier]
==> ona donc 3 ²-3+1=p ==> p=7
cad n=3 et p=7
ou **) n²-n+1=1 et n²+3n+1=p
n=1 et n²+3n +1=p
==> n=1 et p=5
conclusion
les valeurs de n pour que A(n) soit premier sont -3 et 1
pour n=-3 A(n)=7 et pour n=1 A(n)=5 ( bien sur jé considéré p un nombre positiff) (sauf ereeur de ma part )
-----------
neutrino!!

salut tt le monde
solution postée

voici la solution de Abdellatif
on a n(4)+2n(3)-n²+2n+1=(n²+3n+1)(n²-n+1)=A(n)
pour que /A(n)/ soit un nombre premier on doit avoir
n²+3n+1=1 ou n²+3n+1=-1 ou n²-n+1=1 ou
n²-n+1=-1
donc les valeurs de n qui verifient /A(n)/ est un nombre premier sont les solution des equations ci desus
donc l 'ensemble des valeurs de n pour que/A(n)/ est un nombre premier est:S=(-3,1-2,-1)
(pour que n=0 on a /A(n)/=1 et on sait que 1 n est pas un nombre premier)
ouassalamo 3alaykom

Bonjour à tous!

Solution postée.
Voici la solution de Kendor
Solution au problème de la semaine n°94 par Kendor :

A (n)=n4+2n³-n²+2n+1
On remarque que la répartition des coefficients est symétrique.

En factorisant par n², on trouve :
A (n)=n² (n²+2n-1+2/n+1/n²)
Soit p=n+1/n
Alors p²=n²+1/n²+2
Ainsi A (n)=n² (p²-3+2p)
=n² (p-1) (p+3)

p-1= (n²-n+1)/n
p+3= (n²+3n+1)/n
Donc A (n)= (n²-n+1) (n²+3n+1)

|A (n)| est premier si et seulement si |n²-n+1|=1 ou |n²+3n+1|=1

Traitons chaque cas :

• n²-n+1=1 : n=0 (A (0)=1) ou n=1 (A (1)=5)

• n²-n+1=-1 : Pas de solution car Δ=-7.

• n²+3n+1=1 : n=0 (A (0)=1) ou n=-3 (A (-3)=13)

• n²+3n+1=-1 : Δ=1 :2 solutions entières : n1=-2 (A (-2)=-7) et n2=-1 (A (-1)=-3)

L’ensemble des entiers relatifs n tels que |A (n)| soit premier est donc S= {-3,-2,-1, 0,1}
On enlève 0 si on considère que 1 n’est pas premier.

CQFD.

Ciao !

Kendor

Bonjour

Solution postée.

Voici la solution de omis

Supposant un nombre p qui est premier et égal |A(n)| ,avec p<>+-1et 0

On a n^4 + 2n^3 –n² +2n +1 = p
=> n^3(n+2) – n(n+2) +4n +1=p
=> (n+2)(n^3-n) +4n+1=p
=> n[(n+2)(n²-1)+4] = p-1

=> n=1 et (n+2)(n²-1) + 4 =p-1 ou n=p-1 et (n+2)(n²-1) + 4 = 1

On va étudier les deux cas :
Pour le 1er cas on a n=1 et (n+2)(n²-1) + 4 =p-1
 (n+2)(n²-1) = p-5
 n+2 =1 et (n-1)(n+1) =p-5 ou l’inverse
 n=-1 et {n=2 et n= p-6 ou n=p-4 et n=0 ou n=p-7 et (n-1)(n+1)= 1
 n=-1 et {n=2 et n= p-6 ou n=p-4 et n=0 ou n=p-7 et n=2ou n=0 et n=0 ou n=-2
Alors en déduit la 1er solution 1er cas : S_1= {1 ;-1 ;2 ;-2 ;p-7 ;p-4 ;p-6 ; p-1}
Pour le cas de n=0 => p=1 (impossible)
Pour le 2er cas on a : n=p-4 et (n+2)(n²-1) +4 =1
 (n+2)(n²-1) = -3
 n +2 =1 et (n-1)(n+1) =-3 ou l’inverse
 n= -1 et {n=2 et n= -4 ou n= -2 et n =0 ou n=-5 et (n-1)(n+1)=1
 n= -1 et {n=2 et n= -4 ou n= -2 et n =0 ou n=-5 et n=2 et n=0 ou n=0 et n=-2
Alors en déduit la 2er solution du 2er cas : S_2= {p-4 ;+-1 ;+-2 ;-4 ;-5}
On va vérifier les solutions pour déduire la solution final :
Pour n=-1 => p=-3
Pour n= 1 => p=5
Pour n= 2 => p=33
Pour n=-2 =>p=-7

c koi A(n)?

solution postée

Voici la solution de conan
pour n=0 pas de solution , donc on suppose que n#0

on a : A(n) = n² + 2n^3 - n² +2n +1=(n²)² + 2n²*n + n² +2n²+2n+1-4n²

<=> A(n) = (n²+n)²+2(n²+n)+1 - 4n² = (n²+n+1)²-(2n)²

<=> A(n) = (n²-n+1)(n²+3n+1)

donc pour que lA(n)l soit un nombre premier , il suffit d'avoir :

[ l n²-n+1 l = 1 et l n²+3n+1l = lA(n)l ] (*) <=> n=1

ou[ l n²-n+1 l = lA(n)l et l n²+3n+1l = 1 ] (**)<=>n=-1 ou n=-2 ou n=-3

donc les valeurs de n sont (-3;-2;-1;1)

Solution postée
facile qd mm !! ^_^
Voici la solution d’adam

salut,
en factorisant A(n) on obtient :
A(n) = (n² - n + 1 )(n² + 3n + 1)
et puisque : n² - n + 1 > 0 et les racines de B(n) = n² + 3n + 1 ne sont pas des entiers
donc les valeurs de n pour lesquelles / A(n) / est un nombre premier sont ceux qui vérifient :
n(n - 1) = 0 ou n(n + 3) = 0
c.à.d : n appartient à { -3 , 0 , 1 } et dans ce cas / A(n) / = A(n) appartient à { 13 , 1 , 5 }
c'est pas difficile du tout !!

bonjour !
solution postéé

voici la solution de Stipuler
soit n un nombre entier relatif.
On a : A(n) = n*4 +2n³-n²+2n+1
=n*4+n³-n²+2n+ n³+1
= n³+1+ n³+-n²+n+n+n*4
=(n+1)(n²- n+1) + n(n²-n+1)+n(n³+1)
=(n+1)(n²-n+1)+n(n²- n +1)+n(n+1)(n²- n +1)
=(n²-n+1)(2n+1+n(n+1))
=(n²- n + 1)(n² +3n+1)

Un nombre premier ne peut s’écrire comme produit de nombres differents de 1 et lui-même !
P= premier

/ A(n)/= p  / n²- n+1/ ./n²+3n+1/= p
/n²-n+1/ = p et / n²+3n+1/=1
ou /n²- n+1/=1 et /n²+3n+1/=p

cas 1 : /n²- n+1/=p et /n²+3n+1/= 1

Soit /n²- n+1/ premier, on a

/n²+3n+1/=1 n²+3n+1=1 ou n²+3n+1 = - 1

 n =0 ou n= - 3 ou n= - 1 ou n= - 2
Les valeurs vérifiant /n²- n+1/ est premier sont { - 3, - 1, -2}

Cas2 : /n²- n+1/=1 et /n²+3n+1/=p

Soit /n²+3n+1/ premier, on a :

/n²- n+1/ = 1  n²- n+1 = 1 ou n²- n+1 = - 1
 n=0 ou n= 1
Les valeurs vérifiant ce cas { 1}
Finalement /A(n)/ est premier  n{ 1 , - 1 , - 2, - 3 }
Merci de lire mon essai
Stipuler

salut
Solution postée
Voici la solution de huntersol

Bonjour,

Je suis le roi pour oublier des cas