problème N°107 de la semaine (12/11/2007-18/11/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Solution
voici la solution de ThsQ
f = 0 est solution.

On va supposer f != 0 pour la suite.

* y = (x²-f(x))/2 => f(x) * (f(x) - x²) = 0
donc si f(x) != 0, f(x) = x².

* dans tous les cas f(0) = 0 et donc (x=0 dans équation) f(-y) = -f(y)

* si f(a) = 0 et a != 0
** x=a => f(y) = f(c² - y) = f(-y) = f(c² + y) et donc f est périodique de période c²

** y=c² => f(f(x)) = .... = f(x²) + 4 c² f(x)

Mais y = 0 =>: f(f(x)) = f(x²) donc c= 0 et contradiction;

Conclusion f=0 et f(x)=x² sont les 2 solutions

solution postee
voici la solution de kalm
on peut facilement trouver f(f(x))=f(x²) donc f(f(0))=f(0)
f(f(0)+y)-f(-y)=4f(0)y => f(0)-f(f(0))=-4f(0)²=> f(0)=0
on a l'equation est equivalente a f(f(x)-y)-f(x²+y)=-4f(x)y
=> f(f(x)-f(x))-f(x²+f(x))=-4f(x)² <=> f(x²+f(x))=4f(x)²
<=> f(x²-x²)+4f(x)x²=4f(x)² <=> f(x)(f(x)-x²)=0
<=> f(x)=0 ou f(x)=x²

postée
(solution non trouver )(administration)

salam

solution postée
voici la solution de devil
Montrons d'abord que f(0)=0.
on a (E):f(f(x)+y)-f(x²-y)=4f(x)y donc pour y=x on obtient f(fx)+x)-f(x²-x)-4xf(x)=f(fx))-f(x²).on remplace x par 0
on obtient donc -6f(0)=0 cad f(0)=0.
-revenons a notre formule et remplaçons y ds (E) par x² on obtient [1]:f(f(x)+x²)-f(x²-x²)=4f(x)*x².
en remplaçons une autre fois ds (E) y par -f(x) on obtient [2]:f(f(x)-f(x))-f(x²+f(x))=-4f(x)².
de [1] et [2] on deduit que f(x)²-x²*f(x)=0 d'ou f(x)=0 ou f(x)=x².

Reciproquement on pour f(x)=0 les condictions sont verifiés ; idem pour f(x)=x².

soluce postee
voici la solution de wiles
P(x;y): f(f(x)+y)-f(x²-y)=4f(x)y
P(x;-f(x)): f(0)-f(x²+f(x))=-4f(x)²
P(x;x²): f(x²+f(x))-f(0)=4x²f(x)
en sommant les deux equations precedentes:
f(x)²=x²f(x)
f(0)=0 P(0;y) ==> f(y)=f(-y) donc f est pair
prouvons que f est necesserement nulle ou la fonction carre
supposons qu'il existe x et y de R+* tels que f(x)=0 et f(y)=y²
P(x;y) ==> y²=f(x²-y)
si f(x²-y)=0 alors y=0 contradiction
si f(x²-y)=(x²-y)²
alors x²=2y
soit t un nombre de R+* different de x et y
si f(t)=0 avec la meme demarche faite avec x on prouve que t²=2y=x² ==> contradiction
si f(t)=t² avec la meme demarche faite avec y on prouve que x²=2t=2y ==> contradiction
donc f est ou la fonction nulle ou la fonction carre.

Bonjour
solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
y=-f(x)==> f(0)-f(x²+f(x))=-4f(x)²
y=x²==> f(f(x)+x²)-f(0)=4f(x)x²
==> f(x)²=f(x)x² (1)
(1) ==> f>=0, f(0)=0, f(1)=0 ou f(1)=1
x=0 ==> qqs y, f(y)-f(-y)=0 ==> f paire.
y=0 ==> qqs x, f(f(x))=f(x²) (2)

si f(1)=0
x=1 ==> qqs y, f(1+y)=f(y) ==> f 1-périodique
y=1 ==> qqs x, f(f(x)+1)-f(x²-1)=4f(x)= f(f(x))-f(x²)=0 d'aprés (2)
==> f(x)=0 qqs x

si f(1)=1 , soit a tq f(a)=0
x=a, y=1 ==> f(a²-1)=1
x=1, y=a²==> f(1+a²)-f(1-a²)=4a² ==> f(1+a²)=4a²+1
x=a, y=a²+1 ==> f(a²+1)-f(a²-(a²+1))=0 ==> f(a²+1)=1 ==> 4a²=0 ==> a=0
Donc f(a)=0 <==> a=0
soit x non nul <==> f(x) non nul ==> f(x)=x² d'aprés (1) valable aussi pour x=0.
==> f(x)=x² qqs x.
A+
A+

bonsoir ^^
solution postée
voici la solution

-pour y=-f(x) ; on a :f(0)-f(x²+f(x))=-4f²(x) (*)
-pour x²=y ; on a :f(f(x)+x²)-f(0)=4f(x)x² (**)
de (*) et (**) on trouve f²(x)=x²f(x) => f(x)=0 ou f(x)=x²
réciproquement f(x)=x² et f(x)=x² verifient les conditions de l'énoncé
donc les deux solutions sont f : x->0 et f : x ->x²

Bonsoir tout le monde.
Solution postée .
voici la solution de Kaderov
Salutations.
Posons f(0)=a
1) x=y=0 ==> f(a)=a
x=0 & y=-a ==> a=f(a)-4a^2 et donc a=0.
2) x=0 ==> f(y)=f(-y) f est paire.
3) y=0 ==> f(f(x))=f(x^2)
4) y=x^2-f(x) ==> f(x^2)=f(f(x))+4f(x)(x^2-f(x)
==> 4f(x)(x^2-f(x))=0 (avec 3)
==> f(x)=0 ou f(x)=x^2.
5)Supposons qu'il existe une fonction g et des intervalles disjoints A & B avec AUB=IR tels que:
g(x)=0 si x est dans A & g(x)=x^2 si x est dans B
choisissant alors x non nul dans A et y non nul negatif dans B (la fonction etant paire nous perdons rien dans la généralité) on a alors g(x)=0 et g(y)=y^2
L'equation originale nous donne alors:
g(g(x)+y)=g(x^2-y)+4g(x)y ==> g(y)=g(x^2-y)=y^2
Deux cas possibles:
Si x^2-y est dans A alors y^2=0 impossible (y non nul).
Si x^2-y est dans B alors y^2=(x^2-y)^2 ==> x^2=2y <0 impossible.
Conclusion :
les seules fonctions solutions sont f(x)=0 ou bien f(x)=x^2.
A+

Salut tt le monde
Solution postée
voici la solution de yassine
On a f(f(x)+y)-f(x²-y)=4f(x)y
On prend y=x² alors f(f(x)+x²)=f(0)+4x²f(x)
Prenons maintenant y=-f(x) alors f(0)-f(x²+f(x)=-4(f(x))² ===> f(f(x)+x²)=f(0)+4(f(x))²
Donc on a 4(f(x))²= 4x²f(x) d’où x²f(x)-(f(x))² = 0 ==> f(x)(f(x)-x²)=0 alors f(x)=x² ou f(x)=0

Réciproquement les deux fonctions vérifient les données

slt
solution postée
voici la solution d'anass

Salut!
Solution postée.
voici la solution de kendor
Soit f : IR->IR, telle que pour tous réels x, y, f (f(x) +y)-f(x²-y)=4f(x) y

La fonction nulle est solution.
De plus si f(x)=x², alors (x²+y) ²-(x²-y) ²=4x²y
Donc la fonction x->x² est aussi solution.
Montrons qu’il n’y en a pas d’autres.

Soit x réel
Soit y=(x²-f(x))/2
Alors f(x) +y=(x²+f(x))/2 et x²-y=(x²+f(x))/2
Donc 0=4f(x) (x²-f(x))/2
Donc, pour tout réel x, f(x)=0 ou f(x)=x².

En particulier pour x=0, f (0)=0
Et donc pour tout réel y, f(y)=f (-y) (f est donc paire).

Si f n’est pas la fonction nulle, il existe x0>0 tel que f(x0) ≠0
Alors f(x0)=x0²>0

Comme f (0)=0, il existe a réel tel que f (a)=0
Dans ce cas, pour tout réel y, on a f(y)=f (a²-y)
On a donc f(x0)=f (-x0)=f (a²+x0) ≠0 (si y=-x0)
Donc x0²= (a²+x0)²
Donc x0=a²+x0 ou x0=-a²-x0
Donc a=0 ou x0=-a²/2 (avec x0>0)
Donc a=0

Donc si x ≠ 0, f(x) ≠0, donc f(x)=x².

On a donc deux fonctions solutions : f : x->0 et f : x->x².

Kendor
Ciao!
A+

Kendor.