problème N°84 de la semaine (04/06/2007-10/06/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
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puis il poste le message suivant ici "solution postée"
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Merci

Bonjour Mr Samir

solution postée
Solution de Conan : au problème de la semaine N° 84

Sois n de N et x de R

On a : cosn(x) – sinn(x) = 1 Donc cosn(x) = 1 + sinn(x) => cosn(x) ≥ 0 et sinn(x) ≤ 0

Et on a : cosn(x) – sinn(x) = 1
<=> cosn(x) – 1 = (1-cos²x)n-2

<=> (cos(x)-1) ( cos(x) n-1 + cos(x) n-2+….+cos²(x)+cos(x)+1) = (1-cos(x))n-2 (1+cos(x)) n-2

<=>(cos(x)-1) [(1- cos(x)) n-3 (1+cos(x)) n-2 + (cos(x) n-1 + cos(x) n-2+….+cos²(x)+cos(x)+1)]=0

Or : [(1- cos(x)) n-3 (1+cos(x)) n-2 + (cos(x) n-1 + cos(x) n-2+….+cos²(x)+cos(x)+1)] > 0

==> (cos(x)-1) = 0
Donc : x = 2kП (k £ Z)
S={2kП / k £ Z }

Bonjour,
Solution postée,
cordialement
voici la solution de jamel

Bonjour
Solution postée
A+
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour,
Si n=0, pas de solution.
Si n pair >0, 0=<sin^n(x)=cos^n(x)-1=<0 <==> sin(x)=0 <==> x=kpi avec k dans Z.
Si n=1, cos(x)-sin(x)=1 ==> sin(2x)=0 (élever au carré)==> x=kpi/2 avec k dans Z.
Inversement, tout k dans Z s'écrit k=4q+r avec r dans {0,1,2,3}
cos((4q+r)pi/2)-sin((4q+r)pi/2)=cos(rpi/2)-sin(rpi/2)=1 ssi r dans {0,3}
Donc cos(x)-sin(x)=1 <==> x= 2kpi ou x=3pi/2+2kpi avec k dans Z.
Si n est impair >1, la fonction f: x--> cos^n(x)-sin^n(x) de IR dans IR est 2pi-périodique.
Pour x dans [-pi,pi] on a :
f'(x)=-nsin(x)cos^(n-1)(x)-ncos(x)sin^(n-1)(x)
=-nsin(x)cos(x)(cos^(n-2)(x)+sin^(n-2)(x))=0
<==> sin(2x)=0 ou g(x)=cos^(n-2)(x)+sin^(n-2)(x)=0
Mais g(x)=0 <==> cos(x)=-sin(x) (n-2 impair) <==> x=-pi/4 ou x=3pi/4
Donc f'(x)=0 <==> x dans A={-pi,-pi/4,-pi/2,0,pi/2,3pi/4,pi}
Et f(pi)=f(-pi)=f(pi/2)=-1, f(-pi/4)=2/rac(2)^n, f(-pi/2)=f(0)=1 et f(3pi/4)=-2/rac(2)^n.
Comme rac(2)^n>2 (car n>2) ==> -1=<f(x)=<1 qqs x dans [-pi,pi] ( même dans IR)
==> f(x)=1 ssi x dans {-pi/2,0} ssi x=-pi/2+2kpi ou x=2kpi avec k dans Z.
A+

[list=1]
[*]

[*]

[*]
voici la solution de badr
salut samir !!!!!!!!

on a sin est impair et co est pair et n£N

on considerant S l'ensemble des soulutions de l'equation cos^n(x)-sin^n(x)=1

alors on va etudiez le changemant de n sur N
n=0 <==> S={ev}

n est pair = 2k que k£N <==>S={0}

n est impair =2k+1 que k £N <===>S={0; -1}

ev indice ensemble vide

SALUT
SOLUTION POSTEE
voici la solution de FOUAD80


Cos^n(x) – Sin^n(x) = 1
On a Cos^n(x) – Sin^n(x) = (Cos (x) – Sin (x)) (Cos^n-1(x) + Cos^n-2(x).Sin(x)…………+Sin^n-1(x))
Si Cos (x) – Sin (x) = A & Cos^n-1(x) + Cos^n-2(x).Sin(x)…………+Sin^n-1(x) =B
Donc A.B = 1
On a B > 0 donc A > 0 (1)

Cos (x) – Sin (x) = A
Cos(x+p/4) = A/rac2 (2)

X = Arccos(A/rac2) - p/4 + 2Kp avec K app de IN
X = - Arccos(A/rac2) - p/4 + 2Kp avec K app de IN
Dans autre part (1) et (2) nous donne que 0 < A < rac2
Conclusion : quelque soit n app IN ,il existe au minimum un nombre A tel que


Cos (x) – Sin (x) = A Cos^n(x) – Sin^n(x) = 1

solution postée
a+
solution non trouvée (administration)

Solution postée
voici la solution de Shikamaru

Solution :

Cos^n (x) – sin^n (x) = 1
sin^n (x) + sin^n (pi/2 +x) =1
sin^n (x) + sin^n (pi/2 +x) = sin (pi/2)
et puisque sin(pi/2)=1 alors sin^n(pi/2)=1
sin^n (x) + sin^n (pi/2 +x) = sin^n(pi/2)
donc
pi/2-x-x=pi/2+2kpi ou pi-pi/2-x-x=pi/2
-2x=0+2kpi pi/2-x-x=pi/2+2kpi k appartient à l’ensemble Z
x=2kpi x=2kpi

donc x=2kpi

k appartient à l’ensemble Z pi=22/7

Solution postée
voici la solution de Raa23
cos(x)^n=1+sin(x)^n

si n pair on alors 1+sin(x)^2 superieur ou égal à 1
comme c'est égal à cos(x) donc forcément sin(x)=0
donc x=k*Pi (réciproque évidente car n pair)

si n impair on à:
- si sin(x) positif ou nul (c'est à dir x dans [2kPi,2kPi+Pi])
alors par le meme résonnement sin(x)=0 mais la n étant impair
on alors x=2kPi
- si sin(x) négatif on aura kanmem cos(x) positif ou nul
donc x dans [2kPi-Pi/2,2kPi[ (on peut se retraindre à [-Pi/2,0[
car l'equation est périodique)
donc il suffit d'étudier la solution pour n impair entre [-Pi/2,0[
or si on appel f(x)=cos(x)^n-sin(x)^n-1<0 pour x dans ]-Pi/2,0[
et f(-Pi/2)=0
donc finalement la solution est -Pi/2

En résumé:

si n pair
x=K*Pi pour k dans N

si n impair
x1=2*K*Pi et x2=2*K*Pi-Pi/2 pour k dans N

Raa23

pour n=0 c'est absurde

Christian.Vassard a écrit:

pour n=0 c'est absurde

ce n'est pas absurde
répond plutot a la question posée en envoyant à l'adresse indiquée

ma solution
sltttttt
On a
(Cos(x))^(n)-(sin(x))^(n)=1
(Cos(x))^(n)-(sin(x))^(n)=cos²(x)+sin²(x)
on suppose que n>=2
(Cos(x))^(n)-(sin(x))^(n)=cos²(x)+sin²(x)
Cos²(x)[cos(x))^(n-2) -1]-sin²(x)[(sin(x))^(n-2) +1]=0
On a [cos(x))^(n-2) -1]<=0 => cos²(x)[cos(x))^(n-2) -1]<=0
Et [(sin(x))^(n-2) +1]>=0=>-sin²(x))[(sin(x))^(n-2) +1]<=0
On déduit que
Cos²(x)[cos(x))^(n-2) -1]-sin²(x)[(sin(x))^(n-2) +1]<=0
Cas d égalité
Cos²(x)=0 OU (cos(x))^(n-2)=1 ET sin²(x)=0 OU (sin(x))^(n-2)=-1
Remarque
1)-si n est paire est différent a 0
x=pi /2 + kpi OU n=kpi ET x=kpi OU x={} (car sin(x)^(n-2)>=0) /k£Z
On déduit que
S= { kpi / k£Z}
2)-si n est impaire
x=pi/2 +kpi OU x=2kpi ET x=kpi OU x=–pi/2+2kpi /k£Z
On déduit que
S={ 2kpi , -pi/2+2kpi /(k£Z)}
SToF065
A+

impossible