type péano

Soit f:[0,1] -->[0,1]² de classe C^1. Montrer que f n'est pas surjective.

Je pense avoir prouvé qu'une courbe de longueur finie a une mesure planaire nulle; et ce problème s'ensuit.

De toute façon, une fonction C^1 définie sur un ensemble compact est lipschitzienne, donc, en particulier, elle ne peut augmenter la dimension d'Hausdorff. C'est tout.

Et, plus généralement, dire qu'une courbe a une longueur finie c'est dire que sa mesure 1-Hausdorff est finie, donc, en particulier, elle ne peut avoir une dimension de Hausdorff égale à 2.
Inutile de dire que mon autre preuve (celle dont je parlais dans mon premier message) était beaucoup plus compliquée.

mathman a écrit:

Je pense avoir prouvé qu'une courbe de longueur finie a une mesure planaire nulle; et ce problème s'ensuit.

Pourquoi la courbe est de longueur finie ? Et si c'est une fractale?

off-topic: J'ai une petite question, qu'est ce que c'est l'agrégation ?