equation fonctionelle posté par samer soufiane

salut

je veut dire que si en prend y et x tel que
x-[x]=y-[y]on pose f(x-[x])=a : parametre
et si on prend z tel que z-[z]est diferent de x-[x] on change le parametre


[y] est la partie entiere de y

j'ai pas compris n'oublie pas que c'est un exercice de niveau t.c.s

je crois que c est 1 peu difficile pour votre niveau,tas raison

Pour retrouver la réponse de Eto :

5f(-x) + f(1-x) = 2x
==> 5f(x) + f(x+1) = -2x
==> f(x+1) = -2x - 5f(x)
On peut ainsi définir f(x) de façon quelconque sur [0,1[ par exemple puis trouver ensuite les valeurs sur n'importe quel intervalle.

Ainsi, si f(x0) = y0 (avec x0 dans [0,1[, on a :
y1 = f(x0+1) = -2x0 - 5y0
y2 = f(x0+2) = -2(x0+1) - 5y1
...
Ce qui conduit à étudier la suite y_(n+1) = -2(x0+n) - 5y_n
Tentons de faire disparaître le premier terme :
y_(n+1) + a(n+1) + b = an + a + b -2x0 - 2n+ 5an + 5b - 5(y_n + an + b))
= (6a-2)n +a+6b-2x0 - 5(y_n + an+b)

En prenant a=1/3 et b=x0/3 - 1/18, on élimine les premiers termes et il reste :
y_(n+1) +a(n+1) + b = -5 (y_n + an+b)
et donc :
y_n + an+b = (-5)^n (y0 + b)

Donc :

f(x0 + n) = (-5)^n (f(x0) + x0/3 - 1/18) - n/3 - x0/3 + 1/18

f(x) = (-5)^[x] (f(x - [x]) + (x-[x])/3 - 1/18) - x/3 + 1/18

On peut montrer que cette formule, donnée par Eto, et construite ici pour x >= 1, est toujours valable pour x < 0.

Pour éviter la confusion, on peut ne pas employer la ,fonction f dans la parenthèse puisque l'on a dit que la définition de f sur [0,1[ était quelconque.

on peut ainsi écrire :

f(x) = (-5)^[x] (u(x - [x]) + (x-[x])/3 - 1/18) - x/3 + 1/18
avec u fonction quelconque définie sur [0,1[

par exemple : u(x) = 1/18 -x/3
==> f(x) = 1/18 - x/3

Par exemple : u(x) = 19/18 - x/3
==> f(x) = 1/18 - x/3 + (-5)^[x]

...
etc.

Salam,

Ces équations fonctionnelles sont pour quel niveau exactement ?

pco a écrit:

Pour retrouver la réponse de Eto :

5f(-x) + f(1-x) = 2x
==> 5f(x) + f(x+1) = -2x
==> f(x+1) = -2x - 5f(x)
On peut ainsi définir f(x) de façon quelconque sur [0,1[ par exemple puis trouver ensuite les valeurs sur n'importe quel intervalle.

Ainsi, si f(x0) = y0 (avec x0 dans [0,1[, on a :
y1 = f(x0+1) = -2x0 - 5y0
y2 = f(x0+2) = -2(x0+1) - 5y1
...
Ce qui conduit à étudier la suite y_(n+1) = -2(x0+n) - 5y_n
Tentons de faire disparaître le premier terme :
y_(n+1) + a(n+1) + b = an + a + b -2x0 - 2n+ 5an + 5b - 5(y_n + an + b))
= (6a-2)n +a+6b-2x0 - 5(y_n + an+b)

En prenant a=1/3 et b=x0/3 - 1/18, on élimine les premiers termes et il reste :
y_(n+1) +a(n+1) + b = -5 (y_n + an+b)
et donc :
y_n + an+b = (-5)^n (y0 + b)

Donc :

f(x0 + n) = (-5)^n (f(x0) + x0/3 - 1/18) - n/3 - x0/3 + 1/18

f(x) = (-5)^[x] (f(x - [x]) + (x-[x])/3 - 1/18) - x/3 + 1/18

On peut montrer que cette formule, donnée par Eto, et construite ici pour x >= 1, est toujours valable pour x < 0.

Pour éviter la confusion, on peut ne pas employer la ,fonction f dans la parenthèse puisque l'on a dit que la définition de f sur [0,1[ était quelconque.

on peut ainsi écrire :

f(x) = (-5)^[x] (u(x - [x]) + (x-[x])/3 - 1/18) - x/3 + 1/18
avec u fonction quelconque définie sur [0,1[

par exemple : u(x) = 1/18 -x/3
==> f(x) = 1/18 - x/3

Par exemple : u(x) = 19/18 - x/3
==> f(x) = 1/18 - x/3 + (-5)^[x]

...
etc.

salut pco j'ai taite cette equation fonctionnelle et jais trouvez que puis on a deux fonction sont somme eqale a une fonction poliminale donc f est une fonction poliminale et sont degree egale a 1

f(x)=ax+b apres le calcule on trouvant que f(x)=-x/3+1/18

et jai remarque encore que qq soit x apartient a R x=[x]+n telque n£[0,1[ et on conisere une fonction f comme une suite ARITHMITICO-GIOMETRIE f(x) = 1/18 - x/3 + (-5)^[x] et ca le resultat que tu as arrive good pco