Arctan

demontrez que : arctan(a) + arctan(b) = arctan(a+b/1-ab)
tels que ab > 1

chouchou a écrit:

on pose x= arctan a , y=arctan b , z=arctan (a+b/1-ab)
on a tan(x+y) = tanx +tan y / 1- tanx tany = a+b/1-ab = tanz

alors x+y = z + k pi / tel que k appartient a Z

1/ si a>= 0 et si b>= 0
on a a+b/1-ab >= 0
donc 0=<x<pi/2 et 0=<y< pi/2
un petit encadrement nous donnera que k = o

donc x+y=z

2/ meme chose pour a=<0 et b=<0
k=0
et x+y=z

3/et si ab=<0
on trouve que -pi/2<x+y<pi/2 et -pi<z<pi/2
donc x+y-z appartient a ]-pi/2,pi/2[
donc k=0
donc x+y=z

alors ab<1 ==> arctan a +arctanb = arctan a+b/1-ab

Il Ya des Fautes Que je te Laisse Les decouvrire!

est ce k'on peut demonter cette relation avec l encadrement de arctan(a+b)/(1-ab) - arctanb entre -pi/2 et pi/2 pour utiliser la definition de larctan et trouver en fin une expression juste!!!

perly a écrit:

est ce k'on peut demonter cette relation avec l encadrement de arctan(a+b)/(1-ab) - arctanb entre -pi/2 et pi/2 pour utiliser la definition de larctan et trouver en fin une expression juste!!!

non je pense pas j'ai beau cherché mais en vain

chouchou a écrit:

on pose x= arctan a , y=arctan b , z=arctan (a+b/1-ab)
on a tan(x+y) = tanx +tan y / 1- tanx tany = a+b/1-ab = tanz

alors x+y = z + k pi / tel que k appartient a Z

1/ si a>= 0 et si b>= 0
on a a+b/1-ab >= 0
donc 0=<x<pi/2 et 0=<y< pi/2
un petit encadrement nous donnera que k = o

donc x+y=z

2/ meme chose pour a=<0 et b=<0
k=0
et x+y=z

3/et si ab=<0
on trouve que -pi/2<x+y<pi/2 et -pi<z<pi/2
donc x+y-z appartient a ]-pi/2,pi/2[
donc k=0
donc x+y=z

alors ab<1 ==> arctan a +arctanb = arctan a+b/1-ab

tu peux mieux démontrer ce que tu veux dire par 1 petit encadremment stp?

ab<1 <==> b<1/a

puisque arctan est strictement croissante sur R donc :

|arctan(a)+arctan(b)|<|arctan(a)+arctan(1/a)|=pi/2

donc tan(arctan(a)+arctan(b))=tan(arctan(a))+tan(arctan(b))/(1-tan(arctan(a))+tan(arctan(b))=(a+b)/(1-ab)

<==> tan(arctan(a)+arctan(b))=tan(arctan((a+b)/(1-ab)))

donc arctan(a)+arctan(b)=arctan((a+b)/(1-ab))+k*pi


mais |arcta(a)+arctan(b)|<pi/2 et |arctan((a+b)/(1-ab))|<pi/2
donc certainement on a k=0

donc le resultat voulu est prouvé

signaler le à moi si j ai fait une erreur de logique ou quelque chose car j ai un devoir prochainement

merci memath mais c 1 peu tard j déja remis l'épreuve :s mais merci comme meme ^^ la seule erreur que je vois c que quand on fait entrer la fonction tan ce n'é plus une equivalence donc il faut eviter d'utiliser cette méthode surtt dans les equations car c faux (voila 1 conseil pr ton devoir :d)c ce qu'a di notre prof lol

je crois que j ai bien fait attention dans cette etape , car prmierement j ai montré que arctan(a)+arctan(b) est dans ]-pi/2,pi/2[ donc son tan est defini et puis pour enlever le tan j ai resolu une simple equation et j ai demontré que k=0


si t as une autre methode je suis preneur poste la stp

bah la méthode tu attend qu'on corrige l'énoncé et pi je t'envoie la méthode c pour demain ^^

puisque a est plus grand que 0 tel que b alors (-ab)inferieur à 0 et dans l'enoncé on ab plus grand que 1 alors une petit encadrement donner :
a+b/1-ab est absolument negatif










GOD BLESSED HIS PRESENTS