Système d'entiers très particulier - Très difficile.

Bonjour :

Trouver tous les entiers relatifs a, b, c, d tels que :

ac - 2bd = 3
ad + bc = 1


Très difficile à trouver. Si vous le faites, je vous garantis ENS Ulm xD

Je peux donner la grosse astuce............

on a (a+irac(2)b)(c+irac(2)d)=ac-2bd+irac(2)(ab+bc)
le carrée du module de 3+irac(2)est = 11 -------> DedUIRE

Excellentississssismeeeeeee!!!!!!!!!!

BIG BRAVO !



Faut avouer que cette astuce n'est pas "humaine".

ac-2bd=3
ad+bc=1

supposons que a,b,c et d sont non nuls

elevons le tout au carré :

a²c²+4b²d²-4abcd=9 et a²d²+b²c²+2abcd=1

il est clair que a²d²+b²c²>=2 (a,b,c,d entiers)

donc a²d²+b²c²+2abcd=1>=2+2abcd

d ou 2abcd=<-1 donc -4abcd>=2

donc a²c²+4b²d²-4abcd=9>=a²c²+4b²d²+2

d ou : a²c²+4b²d²=<7 , mais a²c²+4b²d²>=5

donc a²c²+4b²d² € {5,6,7}

pour a²c²+4b²d²=5 on doit avoir a²c²=1 et 4b²d²=4 pas d soluces

pour a²c²+4b²d²=6 on doit avoir d apres la premiere equa : 9+4abcd=6

donc abcd=-3/4 pas d soluces

pour a²c²+4b²d²=7 on doit avoir 9+4abcd=7 donc abcd=-1/2 pas d soluce

donc forcement l un des a, b ,c ou d est nul , on remplace à chaque fois et on trouve les uniques sollutions sont les suivants :

(a,b,c,d)€{(3,1,1,0),(1,0,3,1)}

cest un exo de l olympiade de russie 1991

bien joué naoufal , cé trés joli

merci!!

Ca m'a l'air correcte, j'aime pas la méthodologie vers la fin c'est trop de calcul... Mais ca reste une solution donc bravo à toi aussi !

La grosse astuce c'était ce que a utilisé Naoufal, j'explicite cette méthode pour que les autres comprennent.

Il faut utiliser les complexes :

On pose z=c+idV2
et z'=a+ibV2 V=racine carée

On calcule le module de z*z' avec deux méthodes :

|z*z'|^2 = |z'|^2*|z|^2==(a²+2b²)(c²+2d²)=11

11 est premier, donc l'un des facteur est égale à 1, l'autre à 11....