belle inégalité

Bonjour
Soient a,b,c des réels positifs tels que abc=1.
On pose x=a+b+c et y=ab+bc+ac. On a alors a²+b²+c²=x²-2y

On a : (1+a+b)(1+b+c)= 1+x+y+b+b²
(1+a+b)(1+a+c)= 1+x+y+a+a²
(1+b+c)(1+a+c)= 1+x+y+c+c²
(1+a+b)(1+b+c)(1+a+c)=(1+x+y+b+b²)(1+a+c)=2x+y+x²+xy
Donc
(1+a+b)(1+b+c)+(1+a+b)(1+a+c)+(1+b+c)(1+a+c)=3+4x+x²+y.

On a : (2+a)(2+b)=4+2a+2b+ab
(2+a)(2+c)=4+2a+2c+ac
(2+b)(2+c)=4+2b+2c+bc
(2+a)(2+b)(2+c)=9+4x+2y
Donc (2+a)(2+b)+(2+a)(2+c)+(2+b)(2+c)=12+4x+y

L'inégalité en question devient
(3+4x+x²+y)(9+4x+2y)=<(12+4x+y)(2x+y+x²+xy)


AA++

Bonjour
On a x=a+b+c >=3 et y=1/a+1/b+1/c>=3 ( Inégalité arith-Géom)

On considére pour y >= 3, fixé l'application définie pour x>=3 par:
f(x)=(12+4x+y)(2x+y+x²+xy)-(3+4x+x²+y)(9+4x+2y)

On calcule la dérivée de f on trouve :
f'(x)=-24-10x+6y+6xy+y²=2x(3y-5)+y²+6y-24 >=0 .
f est croissante pour x>=3.

Donc f(x)>=f(3)=2(24+y)(y-3)>=0 car y>=3

AA++