trouver un polynome !

bonjour à tous , voilà je suis encore tombé sur exercice je comprends pas tres bien .

trouver un polynome P tq (X+1)-P(X) =X^3
en deduire la somme Sn= la somme de k=1 à n de k^3 en fonction de n .

pour le polynome je trouve x^4 mais je suis pas sur et pour la deuxieme question je vois pas quoi faire .

merci d'avance pour votre aide

Bonjour neotrack !!
<< Trouver un polynome P tq P(X+1)-P(X) =X^3 et en deduire la somme Sn= la somme de k=1 à n de k^3 en fonction de n >>

Tu étais un peu sur la bonne voie , en effet si DegréP =n alors Degré[P(X+1)-P(X)] =n-1 En effet
P(X)=an X^n+........+a0 , quand tu calcules P(X+1) -P(X) le degré de ce polynome proviendra du monome (X+1)^n -X^n=nX^(n-1)+....... en utilisant la formule du Binome de Newton ;
Par conséquent si P(X+1)-P(X) =X^3 alors P(X) devrait etre de degré 4
soit P(X) =a4X^4+a3X^3+a2X^2+a1X+a0
Tu remplaces et tu trouveras un système pour calculer les coefficients de P(X).
Pour la seconde question :
Fais X=1 alors P(2)-P(1)=1
Fais X=2 alors P(3)-P(2)=2^3
Fais X=3 alors P(4)-P(3)=3^3



Enfin , fais X=n alors P(n+1)-P(n)=n^3
Maintenant fais la somme de ces n égalités , il y a du telescopage en l'air et tu obtiendras P(n+1)-P(1)=Sn= la somme de k=1 à n de k^3 en fonction de n . LHASSANE

bonsoir lhassan et merci de votre aide , mais est ce que vous pouvez rediger de manierre normale la question 1 sans sauter les etapes .

C'est pour te faire travailler un peu les calculs...
<< soit P(X) =a4X^4+a3X^3+a2X^2+a1X+a0
Tu remplaces et tu trouveras un système pour calculer les coefficients de P(X) >>
On cherche donc P(X)=aX^4+bX^3+cX^2+dX+e
(1) (1+X)^4=X^4+4X^3+6X^2+4X+1
(2) (1+X)^3=X^3+3X^2+3X+1
(3) (1+X)^2=X^2+2X+1
d'ou (1+X)^4-X^4= 4X^3+6X^2+4X+1 (*)
(1+X)^3-X^3= 3X^2+3X+1 (**)
(1+X)^2-X^2= 2X+1 (***)
(1+X)-X= 1 (****)
Alors P(X+1)-P(X) =a.(*)+b.(**)+c.(***) +d.(****)
c'est à dire P(X+1)-P(X)=4aX^3 + (6a+3b)X^2 +(4a+3b+2c)X +(a+b+c+d) et ceci doit etre égal à X^3 . Par identification , on aura :
4a=1 donc a=1/4
6a+3b=4a+3b+2c=a+b+c +d=0
donc b=-2a=-1/2 puis c=(-1/2)(4a+3b)=1/4 et d=-(a+b+c)=0 enfin e étant arbitraire on prendra e=0 pour faire simple.
Ainsi P(X)=(1/4)X^4-(1/2)X^3+(1/4)X^2
satisfait au problème posé. Remarquer que P(1)=0

Pourla 2ème Question : tu devrais trouver
Sn=(1/4)[n(n+1)]^2=[(1/2)n(n+1)]^2=[1+2+3+.........+n]^2
LHASSANE

merci lhassane , pour ce qui est de la premierre question c'est ok mais en revanche pour la 2 je sais vraiment pas comment m y prendre avec le telescopage , en fait je vois comment la resoudre ..

j'ai besoin d'un peu plus d'indications , merci d'avance

Fais la somme membre à membre des n égalités et tu verras!!!!
Le téléscopage c'est par exemple la situation suivante :
(a-b)+(b-c)+(c-d)+.......+(x-y)+(y-z)=a-z