polynome

mq pour tt P£R_(n-1)[X] qu'il existe a_1...a_n de R tq

P(X)=sigma(a_i*P(x+i)) i=1->n

again and again,une étude algébrique fait l'affaire!

soit donc t:E-------->E,P(X)--------->P(X+1) avec E=R_(n-1)
t est évidemment un automorphisme de E,et l'on a pour tt k de IN,t^{k}(x)---------->P(X+k)

à ce stade considèrer a=t-Id,la matrice de a relativement à la base canonique de E est strictement tridiagonal,elle est donc nilpotente et son indice de nilpotence n'éxcéde pas la dimension de E (pour se convaincre,utiliser Cayley-Hamilton),donc a^{n}=0.

on developpe en utilisant la belle formule du Binome de Newton,on obtient:

Sum_{k=0}^[k=n}binom(n,k)(-1)^{k}t^{k}=0,on isloe t^{0}=Id,on arrive à:

P(X)=Sum_{k=1}^{k=n}binom(n,k)(-1)^{k}P(X+k),maintenant les valeurs de a_i sont claires.N'est ce pas mohamed_01_01?

bonne solution et les valeurs des a_i sont juste.