barycentre

on a ABC un triangle BC=a et AB=c et AC=b, et I le centre du cercle entouré par le triangle (mo7ata)
démontrer que : I est le barycentre de {(A,a)(B,b)(C,c)}

No one!!

att svp j'essaye!!!!

bon voilà je donne une rapide solution:

on prends H le point d'intersection du bissectrice qui passe par A avec BC.
on montre que BE/CE=c/b (*)
donc du (*) on deduit que: E bar{(B,b);(C,c)}
on considere G le barycentre de {(A,a)(B,b)(C,c)} alors 7assaba khassiyat tajmi3iya on a:
G bar {E,(b+c);(A,c)} => G appartient à (EA).
et par symetrie de role pour les bissetrices de B et C on aura:
G markaz da2ira l mo7ata <=> G=I => I bar {(A,a)(B,b)(C,c)}.

pour montrer que: BE/CE=c/b
on prends HAC=w et AHC=v et AHB=z
donc d'apres la loi des sinus:

sin(w)/BH=sin(z)/AB et sin(w)/HC=sin(v)/AC
donc apres les simplifications on aura:

[EC*sin(z)]/AC=[sin(v)*BE]/AB
on a sin(z)=sin(v) car sin(z)=sin(pi-v)
donc :
BE/CE=c/b