- callo a écrit:
- ABCD est un quadrilatere convexe.
tel que : AB=3 et BC=5 et CD=9 et AD=7
montrer que S(ABCD) est supérieur ou egale à 33
On doit avoir inférieur,
Voici la solution:
Selon l'inégalité de ptolémée AC.BD=<AB.CD+AD.BC.
Donc AC.BD=<3*7+5*9.
Donc AC.BD=<21+45.
Donc AC.BD=<66.==>(1)
Et on sait que sin(m)=<1.==>(2)
Soit m la mesure de l'une des angles déterminées par l'intersection des deux droites (AC) et (BD).
Appelons K le point de leur intersection.
On a S(ABCD)=S(AKD)+S(DKC)+S(CKB)+S(BKA).
Donc S(ABCD)=(1/2)AK*KD*sin(m)+(1/2)DK*KC*sin(m)+(1/2)BK*KC*sin(m)+(1/2)BK*AK*sin(m).
Donc S(ABCD)=(1/2)AKsin(m)[KD+BK]+(1/2)KCsin(m)[DK+BK].
Donc S(ABCD)=(1/2)AK*BD*sin(m)+(1/2)KC*BD*sin(m).
Donc S(ABCD)=(1/2)BDsin(m)[AK+KC].
Donc S(ABCD)=(1/2)BD*AC*sin(m).
Multiplions 1 et 2, on trouve AC*BD*sin(m)=<66.
Donc (1/2)AC*BD*sin(m)=<33.
Donc S(ABCD)=<33.
CQFD.
Accueil 
