olympiades

slt les amis ^^ je viens de passer aujourd'hui le 3eme tour des olympiades de notre lycée (ibnou lyassmine) en voici quelques exos :
1// m , n et p sont des nombres entiers naturels tel que : mn<p
démontrez que : m+n=<p

2// t ,u et v sont des nombres réels strictement positifs tel que : t+u+v=1
M.Q: t²+u²+v²>=1/3
dans quel cas t²+u²+v²=1/3 ??

3// [OX) et [OY) et [OZ) sont trois demi-segments tel que : XÔY=YÔZ=60°
Démontrez que si on a 3 points A,B et C (mousta9imia) qui appartiennent à [OX) et [OY) et [OZ) donc : 1/OB=1/OA+1/OC

ca apparait dur. en effet combient d'exo vous avez fait.

salut mathsmaster^^
j'ai fait les deux premiers et un autre que j'ai pas posté (il est tres facile)
il ya 5 exos en tt

Citation :

un autre que j'ai pas posté (il est tres facile)

postez le svp.

1/ (m;n;p) £ N* et mn<p Donc p>=mn+1.
=> S=m+n-p =< m+n-mn-1
S =< m(1-n)+n-1
S =< (1-n)(m-1)
1= 1-n=<0 et m-1>=0
=> S=<0
On conclut

2/ Première méthode :
Par Chebychev, t²+u²+v²>=1/3(t+u+v)²>=1/3
Avec cas d'égalité si t=u=v=1/3



Deuxième méthode :t²>=2t/3-1/9
u²>=2u/3-1/9
v²>=2v/3-1/9

=> En sommant : t²+u²+v²>=2/3(u+t+v)-1/3>=1/3

Et voilà!

P.S: Il sont intéressants les exercices qu'ils vous ont donnés!

Citation :

Avec cas d'égalité si t=u=v=3

c faut car dans ce cas que tu as donné t+u+v=9
le cas est t=v=u=1/3

Je voulais dire 1/3 et tu l'as très bien compris!

salut les amis. quelqu'un pourai m'expliquer ce Chebychev.(si vous avez un exo dont je pourrais la demontrer et la connaitre) et merci d'avance.

Va dans la section théorèmes et formules ou qqc comme ça

erci, je vais le cherchez. mais est ce qu'on peut l'utiliser dans les olympiades.

3/ On appelle S1 la surface du triangle AOB, S2 la surface de OBC et S la surface de AOC

On sait que S1=sin<AOB*OA*OB/2, S2=sin<BOC*OB*OC/2 et S=sin<AOC*OA*OC/2 (facile à démontrer)
Donc, sin<AOB*OA*OB/2+sin<BOC*OB*OC/2=S=sin<AOC*OA*OC/2
XÔY=YÔZ=60° => sin<AOC=sin<BOC=sin<AOC
=>OB(OA+OC)=OA*OC => 1/OB=(OA+OC)/OA*OC=1/OC+1/OA

Tu peux poster les deux autre exos?

alors le 4eme est tres facile :
a// démontrez que : V(10-V46+2V(21-3V46))=V3+V(7-V46)
b// A=V3+V(14+2V3)
B=V(7+V46)+V(10-V46+2V(21-3V46))=V3+V(7-V46)
comparez A et B

le 5eme je l'ai pas fait :
soit a un nombre irrationnel
demontrez qu'il n'existe aucun triangle isocèle MNP dont le sommet est M(1/4 ; a) et P et N sont des nombres entiers

Citation :

et dont la base et P et N sont des nombres entiers

Ca veut dire que les coordonnées de P & N sont des entiers?

mhdi a écrit:

Citation :

et dont la base et P et N sont des nombres entiers

Ca veut dire que les coordonnées de P & N sont des entiers?

oui

SAlut moi oCi g passé hier 9 mai les meme olympiades j voulé vous posté les exos oCI mé rajaa la deja fé!!!
Sinn t de casa rajaa ???

oui

mais touma kat9rawe m3a b3daitkoum

non. mais il sont les deux deux casa celon ce que j les vu parler.

uép tt a fait mathmaster ^^

salut jarrive bcp tro tard mé si kelkun veu bien maidé, pr lexercice 4 et 5 bien kvou trouviez sa facile XD jné po réussi a les résoudre si vou vouliez bien...

Salut,

Pour le 4, je n'y ai vraiment réfléchi, mais je pense que ça ne demande que du calcul(chercher une identité remarquable, etc.).

Pour le 5, voici ma réponse - je ne suis pas sûr de sa validité :

Tout d'abord posons (c;d) et (x;y) respectivement les coordonnées de N et P.
MNP est isocèle, donc MN²=MP².
Et d'après la formule AB²=(x_A-x_B)²-(y_A-y_B)², on a :
(1/4-c)²+(a-d²) = (1/4-x)²+(a-y)²
En développant, on trouve :
c²+d²-c/2-2ad=x²+y²-x/2-2ay
=>(c²-x²)+(d²-y²)-(c/2-x/2)-(2ad+2ay)=0
On factorise :
(c-x)(c+x-1/2)+(d-y)(d+y-2a)=0
Ainsi, (x-c)/(d-y)=(d+y-2a)/(c+x-1/2)
c, d, x et y sont entiers, donc (x-c)(d-y)£Q
a £R\Q, donc (d+y-2a)/(c+x-1/2)£R\Q
On en déduit qu'il n'existe aucun triangle isocèle MNP dont le sommet est M(1/4 ; a) et P et N sont des nombres entiers.
CQFD

merci tjr mhdi