N minimal.

Déterminer le plus petit entier naturel N tel que pour tout n >= N, il existe des entiers naturels a et b avec n = [a sqrt(2) + b sqrt(3)].

Bonjour,

Soient les suites :
u_k = (k+2) sqrt(2)
v_k = 2 sqrt(3) + k sqrt(2)

Alors :
v_k - u_k = 2 (sqrt(3) - sqrt(2)) = 0,63 < 1
u_(k+1) - v_k = 3 sqrt(2) - 2 sqrt(3) = 0,77 < 1

Et donc :
0 <= [v_k] - [u_k] <= 1
0 <= [u_(k+1)] - [v_k] <= 1

La suite [u0], [v0], [u1], [v1], [u2], [v2], ... commence donc à 2 et couvre tous les entiers.
Donc, pour tout n >=2, il existe un u_k ou un v_k tel que n = [u_k] ou n = [v_k]

Par ailleurs 1 = [sqrt(2)] et 0 = [0 sqrt(2)]

Donc, pour tout n >=0, il existe a et b entiers naturels tels que n = [asqrt(2) + bsqrt(3)]

Le nombre cherché est donc 0.

Encore un problème sympa !
merci mathman


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Patrick