BSR au Forum.
BSR Aissa !!
Ton Exercice , loin d'être évident , m'a inspiré et flashé ....
Il y a des calculs , certes ... Et c'est Faisable pour peu qu'on ait de la bonne volonté
D'abord , on utilise à tour de bras les fameuses matrices élémentaires
E(i,j) est la matrice de Mn(IK) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui qui est
situé à l'intersection de i ème Ligne et j ème Colonne et qui vaut 1 .
Ces matrices en nombre n^2 forment une base de Mn(IK).
On l'écrira dans cet Ordre
B={E(1,1), ..... E(n,n); E(1,2), E(2,1), ..... }µdan cet ordre , les matrices s'écriront MIEUX .
On a les propriétés évidentes :
1) Tr(E(i,i)=1 pour chaque i , 1<=i<=n
2) Tr(E(i,j)=0 lorsque 1<=i<>j<=n
3) Id=Sigma { E(i,i), 1<=i <=n }
Avec Tout celà , commençons :
1) Polynôme Caractéristique de F .
On évalue au préalable
F(E(i,i))=2.E(i,i) + Sigma { E(l,l), 1<=l<>i<=n } pour chaque i
F(E(i,j)=E(i,j) lorsque i<>j car Tr(E(i,j))=0
On forme la matrice M(F; B)-X.Id
et on calcule son déterminant ( par la Méthode des Blocs ) et on trouvera :
P(F,X)=(n+1-X).(1-X)^(n^2-1)
Donc deux valeurs propres :
1 d'ordre n^2 -1
n+1 d'ordre 1.
2) déterminations des Sous-Espaces Propres .
Pour la valeur propre 1
Il est de Dimension EXACTEMENT n^2-1
et une Base de cet espace propre est formée des vecteurs
E(i,i)-E(1,1) avec 2<=i<=n
et les vecteurs E(k,l) avec 1<=k<>l<=n
Donc Dimension du Sous-espace Propre = Ordre de Multiplicité de la valeur propre 1
Pour la valeur propre (n+1)
On trouve qu'il est de Dimension 1 et engendré par le vecteur
V=Sigma { E(i,j), 1<=i,j<=n }
En conclusion , la matrice M(P,B) est DIAGONALISABLE et par suite son Polynôme Minimal est
Q(P,X)=(n+1-X).(1-X)
Sauf Erreurs Bien Entendu ( comme disait Mr Elhor ... )
Amicalement . LHASSANE
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