POLYNOME

salam
soit a,b,c,d 4 entiers naturel tel que d>c et b>a
former une CNS sur (a,b,c,d) pour que X^b-X^a divise X^d-X^c dans C[X]

$arah a écrit:

salam
soit a,b,c,d 4 entiers naturel tel que d>c et b>a
former une CNS sur (a,b,c,d) pour que X^b-X^a divise X^d-X^c dans C[X]

BSR $arah !!!
Sa fé B1 longtemps !!!
Je réagis à chaud à ton exercice :

1) Condition sur les degrés : b doit DIVISER d
2) Condition sur les Ordres de Multiplicité de ZERO
0 est racine d'ordre a de X^b-X^a et d"ordre c de X^d-X^c , on devrait avoir a<=c .
Je pense que celà suffira ??

Bonjour $arah ;

je trouve pour CNS : a =< c et b-a divise d-c sauf erreur bien entendu

svp la rédaction

Re-BSR !!

On utilise une Propriété Remarquables des Polynômes
P(k;X)=X^k - 1 lorsque k décrit IN* c'est la suivante
PGCD{P(k;.);P(s;.)}=P(PGCD(k;s);.)
Donc au final Mr Elhor dit VRAI !!!
Car si P(k;X) divise P(s;X) alors PGCD{P(k;.);P(s;.)}=P(k;X)
donc P(k;X)=P(PGCD(k;s);.) d'ou k=PGCD(k;s) donc k DIVISE s .
Tu utiliseras aussi dans la démo , le Théorème de GAUSS !!

OK $arah !

si on note n = b - a et m = d - c (ce sont des entiers naturels non nuls)

alors X^b - X^a divise X^d - X^c s'écrit aussi X^a(X^n - 1) divise X^c(X^m - 1)

ce qui est équivalent , en utilisant Gauss , à X^a divise X^c et X^n - 1 divise X^m - 1

ce qui est équivalent à a =< c et n divise m

vu que le complexe exp(2iPi/n) doit être une racine m-ième de l'unité sauf erreur bien entendu

slt
s il vs plait pouvez vous me montrer comment on a utilisé le theoreme de Gauss et merci d avance

wee merci c etait juste un malentendu