Suite defini par equation

Salut
J'ai trouvé cet exo difficile sur Almoufid

Salut
considère la fonction définie par f_n(x)=nx-x^3-n on a f_n est continue et strictement croissante car c'est la somme de fonctions croissantes.
donc c'est une bijection de [0;1]sur [-n,1] et comme 0£[-n,1] pour tout n de IN alors l'équation admet une unique solution.

Salut à tous :
je crois pas que c'est defficile mais je me reponds:
1) c'est facile à montrer en plus est déja reglé.
2) montrons que (x(n))est croissante:
on a:
--> pour n+1:
n*X(n+1) + X^3(n+1)= n+1-X(n+1) (*1)
--> pour n:
nX(n) + X^3(n) = n (*2)
alors (*1)-(*2):
n[X(n+1)-X(n)]+[X^3(n+1) - X^3(n)]=1-X(n+1).
<=> [X(n+1)-X(n)]*[X^2(n+1)+X(n+1)X(n)+X^2(n)+n]=1-X(n+1).
alors c'est clair que X(n+1)<= 1 <=> 1-X(n+1)>=0.
donc X(n+1) >= X(n) (car (a²+ab+b²+n²)>0 (a;b)£[0;1]).
alors (X(n)) est croissante.
3)la convergence:
il est clair que (X(n)) est bornée donc elle est majoré par 1 et (X(n)) croissante alors d'aprés les critiques de la convergence (X(n)) est convergente.
4) montrons que pr tt n£IN*: 1-(1/n) <= X(n) <= 1.
on a:
nX(n) + X^3(n)=n <=> X(n)=1- X^3(n)/n.
alors c'est clair que X(n) <=1 car X(n)£[0;1]
et on a:
x^3(n) <=1 ==> -X^3(n)/n >= - 1/n donc X(n) >= 1-(1/n).
alors:
1- (1/n) <= X(n) <=1.
5) lim X(n)=1 (x-->+00)
C.Q.F.D
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LaHouCinE @@
++