polynomes ...

soient P et Q deux polynomes qui verifient les conditions suivantes :
1) P et Q ont des coefficients reels
2) chacun des 2 polynomes a au moins une racine reelle
3) P(1+x+Q²(x))=Q(1+x+P²(x)) pour tt x de R

Montrer que P=Q
bonne chance !

Bonjour,

Joli problème !

Propriété A : Si il existe a dans R tel que P^2(a) = Q^2(a), alors P = Q.
En effet, d'après l'hypothèse 3), on a alors b = 1+a+Q^2(a) = 1+a+P^2(a) > a tel que P(b) = Q(b), puis, toujours d'après 3), on a c > b tel que P(c)=Q(c) et ainsi de suite, une infinité de valeurs différentes telles que P(x) = Q(x). Comme ce sont des polynômes et que P-Q ne peut s'annuler un nombre infini de fois que s'il est identiquement nul, P = Q.

Soit alors x0 tel que P(x0)=0 (existe par hypothèse 2)) et x1 tel que Q(x1)=0 (existe par hypothèse 2)).

Si x0 = x1, P(x0) = Q(x0) et P = Q d'après la propriété A
Si x0 <> x1, soit alors H(x) = P^2(x) - Q^2(x).
H(x0) = P^2(x0) - Q^2(x0) = - Q^2(x0) <= 0
H(x1) = P^2(x1) - Q^2(x1) = P^2(x1) >= 0
H s'annule donc en x2 entre (au sens large) x0 et x1, et donc P^2(x2) = Q^2(x2) et donc P=Q d'après A

CQFD

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Patrick

un joli problème mérite une jolie démonstration , c ce que ta fait
bien vu

Montrons qu'il existe un réel a tel que P(a)²=Q(a)².(**)

suposons que(pour tout x P(x)²<Q(x)²)ou (P(x)²>Q(x)²)
dans le 1er cas :on prend x=r,r etant racine de Q donc P(x)²<0 impossible.
2 ème cas: on prend x=r',r' etant racine de P donc Q(x)²<0 impossible.
donc (**)est vrai.
pour x=a on aura P(1+a+Q(a)²)=Q(1+a+P(a)²) donc t=1+a+P(a)² est une racine de T(x)=P(x)-Q(x),prenons mnt x=t on aura t'=1+t+P(t)² racine de T(x) et ainsi de suite ,donc T(x) admet une infinité de racines et par consequent T(x)=0 d'ou Q(x)=P(x)