POLYNOMES.........

salut
soient P et Q deux polynomes verifiants :
qq soit x de R ; P(Q(x))=Q(P(x)).
montrer que si lequation¨P(x)=Q(x) n a po de solutions dans R alors lequation P(Q(x))=Q(P(x)) elle aussi n'as pas de solutions dans R.

Bonjour,

Il doit y avoir erreur d'énoncé : l'équation P(Q(x))=Q(P(x)) est vraie pour tout x de R, par hypothèse !

Ainsi : P(x) = x^2 +1 et Q(x) = P(P(x)) vérifient PoQ = QoP, sont tels que P(x) = Q(x) n'a pas de solution dans R et pourtant P(Q(x)) = Q(P(x)) admet tout réel comme racine.

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Patrick

En effet.

En revanche, je connais le problème suivant :

Soient P et Q des polynômes unitaires tels que PoP = QoQ. Montrer que P = Q.

Salut encore,

mathman a écrit:

Soient P et Q des polynômes unitaires tels que PoP = QoQ. Montrer que P = Q.

P et Q étant unitaires tendent tous deux vers +oo quand x tend vers +oo. On peut alors prendre un A tel que P et Q soient croissants, monotones et supérieurs à x sur [A, +oo[

Soit un x0 de [A,+oo[ tel que P(x0) soit différent de Q(x0).
Si P(x0) > Q(x0) : P(P(x0)) > P(Q(x0)) (P croissante monotone), donc Q(Q(x0)) > P(Q(x0)) (PoP = QoQ), donc Q(x1) > P(x1) avec x1 = Q(x0) > x0 (on est dans une plage où P et Q sont supérieurs à Id).

On montre alrs de la même façon qu'il existe x2 > x1 tel que P(x2) > Q(x2) (x2 = P(x1))

On construit donc une suite x_i strictement croissante tels que P-Q alterne de signe sur cette suite ==> P-Q a une infinité de zéros (continuité) ==> P=Q.

CQFD

A mon avis, on n'a pas besoin de la condition "unitaire". On a seulement besoin de la condition "coefficients supérieurs positifs tous deux.

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Patrick

pco a écrit:

...

A mon avis, on n'a pas besoin de la condition "unitaire". On a seulement besoin de la condition "coefficients supérieurs positifs tous deux.

...

Hmm oui.

Quelque chose d'encore plus joli : ce qui était vrai pour 2 est vrai pour n
C'est-à-dire :
soient P et Q des polynômes réels unitaires et soit n >= 1, si PoPo...oP = QoQo...oQ (n fois), alors P = Q.

mathman a écrit:

Quelque chose d'encore plus joli : ce qui était vrai pour 2 est vrai pour n
C'est-à-dire :
soient P et Q des polynômes réels unitaires et soit n >= 1, si PoPo...oP = QoQo...oQ (n fois), alors P = Q.

Oui, c'est assez joli, en effet.
Je peux le démontrer de la même manière :

P et Q ayant des coefficients d'ordre maximal strictement positifs tendent vers +oo quand x tend vers +oo. Il existe donc une valeur A au delà de laquelle P et Q sont monotones, croissants et supérieurs à x .

Soit alors x0 > A pour lequel P(x0) > Q(x0)

Considérons alors le premier entier i de [1,n] pour lequel PoPoP ... oP(x0) <= QoQoQ ... oQ(x0) (i fois).
i existe puisque PoPoP ... oP(x0) <= QoQoQ ... oQ(x0) (n fois) et est > 1 puisque P(x0) > Q(x0)

Appelons x1 = QoQoQ ... oQ(x0) (i-1>0 fois). Appelons y1 = PoPoP ... oP(x0) (i-1 fois)

On a x1 < y1 (puisque i est minimum) et P(y1) <= Q(x1) (par choix de i)
x1 < y1 ==> P(x1) < P(y1) (puisque on est sur une plage où P et Q sont monotones croissants)
Donc P(x1) < Q(x1). Et x1 > x0 (puisque Q(x) > x)

Par exactement le même raisonnement on peut maintenant trouver x2 > x1 tel que P(x2) > Q(x2)

Et donc, à nouveau, P-Q alterne de signe sur une suite x0, x1, x2, ... strictement croissante.
Donc P-Q a une infinité de zéros.

Donc P = Q.

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Patrick