polynomes

1) montrer que dans R[x]que les polynomes A=x^4+1 et B=x^3-1 sont premiers entre eux et trouver deux polynomes U et V vérifiant AU+VB=1

alloirat a écrit:

1) montrer que dans R[x]que les polynomes A=x^4+1 et B=x^3-1 sont premiers entre eux et trouver deux polynomes U et V vérifiant AU+VB=1

BSR alloirat !!

Pour ton 1) il suffit de remarquer que ces DEUX POLYNOMES n'ont pas de racines communes .... 1,j et j^2 qui sont des ZEROS de B[X] ne sont pas racines de A[X] .

Pour la suite , tu trouveras U(X) et V(X) grace à l'algorithme d'EUCLIDE !!
C'est l'Identité de BEZOUT ......

LHASSANE

merci
mais je sais qu'ils existe deux polynomes U et V vérifions ça (d'aprét bezout)
mais comment fair pour trouver U et V

alloirat Mr.LAHSSANE vous as bel et bien répo,du (c'est GRÂCE à L'ALGORITHME D'EUCLIDE QU'ON TROUVE CES POLYNOMES)

alloirat a écrit:

....
mais je sais qu'ils existe deux polynomes U et V vérifions ça (d'aprét bezout)
mais comment fair pour trouver U et V

Merci codex00 !
Pour alloirat , voici un Lien pour comprendre la méthode permettant d'aboutir à l'Identité de BEZOUT en partant de l'Algorithme d' EUCLIDE :

http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./a/algoeuclide.html

Cette méthode exposée dans IN reste tout à fait valable pour les Polynômes de C[X] .

Concernant ton Exercice proprement dit , les divisions euclidiennes successives sont :
1) X^4+1=X.(X^3-1) + (X+1)
2) X^3-1=(X^2-X+1).(X+1) -2

Un PGCD de A[X] et B[X] est 2
Donc tes deux polynômes sont bien premiers entre eux .

Comment exhiber à partir de là , les deux polynômes U(X) et V(X) de l'Identité de BEZOUT ????? !!!!!
ICI , c'est particulièrement simple !!
Tu élimines (X+1) entre les deux écritures 1) et 2) en multipliant 1) par (X^2-X+1) et en calculant 1) -2)
Travail facile à faire ....

(X^2-X+1).(X^4+1) -(X^3-1)=X.(X^2-X+1)(X^3-1) + 2
d'ou : (X^2-X+1).(X^4+1) -(X^3-X^2+X+1)(X^3-1)=2

et tu vois apparaitre les polynômes U(X) et V(X) cherchés .....
U(X)=(1/2).(X^2-X+1) et V(X)=-(1/2).(X^3-X^2+X+1)

LHASSANE

PS : j'ai rectifié des ERREURS , c'est pourquoi le Post a été réedité ce jour !! Désolé alloirat !!

merci khoya khassan