Salut,
Je peux pas écrire en Latex donc je note D=grand delta(le triangle :d) et d=le petit delta
c) Remarque que deg(P(X+1)-P(x)) <= deg(P) donc Cn[X] est stable par D.
pour montrer la nilpotence commence par prouver que
deg(P(X+1)-P(x)) <= deg(P)-1 car les polynômes P(X+1) et P ont le même coefficient dominant
Par conséquent si on écrit la matrice de d dans la base canonique deC(n-1)[X] on aura une matrice triangulaire inférieur (par stablité de cette ensemble) dont la diagonale est nulle (ce qu'on vient de prouver plus haut) or une telle matrice est nilpotente (un résultat de cours je pense) donc d l'est aussi.
puisque d est nilpotente alors d^n=0 (car n est la dimension de C(n-1)[X])
donc (T-I)^n=0 puis on développe par la formule du binôme et on obtient le résultat (en remarquant que T^k(P)=p(X+k))
d)D(Hn)=H(n-1) (calcul direct) on peut prouver par récurrence que D^m(Hk) = h(k-m) si m<=k et 0 sinon (on l'utilisera dans la suite)
a ce stade je ne vois pas pourquoi on exige que P soit dans
C(n-1)[X] !! on devrait le prendre dans Cn[X] car la famille H(k) pour 0<=k<=n est une base de Cn[X].
donc je prend P dans Cn[X]
d'après la question 1 on peut écrire
P = sum{0<=k<=n}(a(k)H(k)) ou a(k) sont des réels
donc D^m(P)(0) = sum{0<=k<=n}( a(k)D^m(H(k))(0) )
or pour k<m D^m(Hk) = 0 (lemme prouvé au début de cette question)
pour k>m D^m(Hk) = H(k-m)(0) = 0 car ce polynôme est divisible par X
Il ne nous reste dans la somme que le terme
D^m(Hm)(0) = H(m-m)(0)=H0(0)=1
donc D^m(P)(0) = a(m)
D'ou le résultat
Voila )
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