logique

demontrer que :

n£IN* : (1-1/n²)^n . (1+1/n) < 1

hadchi badihi bzzaf

redwane91 a écrit:

hadchi badihi bzzaf

je pose des questions pour collaborer avec le forum, pas pour entendre de pareilles commentaires!!!

merci à toi inconnue pour tes participations!!!

déja posté ...

on peux fair la recurance non?mais je pense que tu dois fair =< non??

le lien
https://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/logique-t9867.htm

svp moi aussi je veux la réponse de cet exo j'en suis vraiment besoin

inconnue a écrit:

demontrer que :

n£IN* : (1-1/n²)^n . (1+1/n) < 1

elle équivaut à : ( n^2/(n^2-1) )^n * n >= n+1 (*)
lemme : ( bernoulli) : qlq soient x>=-1 de R et n de N (1+x)^n >= 1+nx
preuve : facile avec la récuurence
revenons à (*) :
ona : n^2/(n^2-1) = 1 + 1/(n^2-1)
par bernoulli : ( n^2/(n^2-1))^n = ( 1+ 1/(n^2-1))^n >= 1+ n/(n^2-1)
donc il suufit de prouve que : n( 1+ n/(n^2-1)) >= n+1 <=> 1/(n^2-1) >= 0 ce qui est vrai !

inconnue a écrit:

demontrer que :

n£IN* : (1-1/n²)^n . (1+1/n) < 1

L'inégalité est équivalente à:

( (1-1/n²)^n )/n <1-(1-1/n²)^n

<=> n(1-1/n²)^n <(1-1/n²)^(n-1) + (1-1/n²)^(n-2)+....+1 (j'ai utilisé le fait que 1-a^n=(1-a)(a^(n-1)+a^(n-2)+...+1)

ce qui est vrai.

voila ma reponse, il est longue!!!!! mais me parait joli