exercice 1
Calculer x1² + x2² et x13 + x23
où x1 et x2 sont les deux racines de ax² + bx + c.
exercice 2
Soient A, B, C trois villes telles que : d(A, B) = d(B, C). Deux voitures se rendent de A à C en passant par B.
La première va à la vitesse v de A à B, puis deux fois plus vite ensuite.
La deuxième va de A à B à 48 km/h de moyenne, puis roule à la vitesse (v + 20) entre B et C.
Les deux voitures mettent le même temps : calculer v.
exercice 3
Le livre de mathématiques de première S a la forme d'un parallélépipède rectangle d'arêtes de longueurs a, b et c. Son volume vaut V = 792 cm3, la somme des aires de ses faces vaut S = 954 cm² et la somme des longueurs de ses arêtes vaut P = 170 cm.
Retrouver les dimensions du livre (on pourra développer le polynôme Q(x) = (x - a)(x - b)(x - c) et trouver l'épaisseur du livre comme racine évidente de Q).
exercice 4
Soit une fonction polynôme P et soit (P) la fonction polynôme : x P(x + 1) - P(x).
1. Calculer (P) lorsque P est un polynôme de degré 0, de degré 1, de degré 2.
Comparer deg (P ) et deg P sur ces trois cas particuliers.
Formuler un résultat général reliant deg (P) et deg P si deg P 1 et démontrer ce résultat.
2. Montrer que ²(P) = ((P)) est la fonction polynôme :
x P(x + 2) - 2P(x + 1) + P(x).
Donner une expression analogue pour 3(P) = (((P))).
3. Que peut-on dire de 3(P) lorsque deg P = 2, puis lorsque deg P = 3 ?
4. Montrer que pour toute fonction polynôme P de degré 3, on a pour tout réel x :
P(x + 4) + 6P(x + 2) + P(x) = 4[P(x + 3) + P(x + 1)].
5. Application.
Existe-t-il une fonction polynôme P de degré 3 vérifiant :
P(-3) = P(-1) = P(1)
P(-2) = P(0).
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