Bonjour Mathman.
Alors celui-là, je suis resté dessus un moment !
Je n'ai trouvé aucune démonstration simple.
En voilà une quand même :
Soit A = Prod(p_i^n_i), p_i étant des nombres premiers
La somme des diviseurs de A est s(A) = Prod(S(p_i^n_i)) = Prod((sum_{k_i=0,n_i}p_i^k_i))
Proposition P1 : Pour n dans N*, 1 + n + n^2 ne comprend aucun diviseur premier impair congru à 2 modulo 3.
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En effet : Soit p un nombre premier impair congru à 2 modulo 3.
1 + n + n^2 = 0 [p] ==> (2n+1)^2 = 4(1 + n + n^2) - 3 = -3 [p] ==> -3 est résidu quadratique modulo p.
Or, en utilisant (a,b) comme notation pour le symbole de Legendre, on a:
(-3, p) = (-1,p)*(3,p) = (-1)^((p-1)/2) * (p,3) (-1)^[((p-1)/2) ((3-1)/2)] = (p,3) = (2,3) = -1
Donc -3 ne peut être résidu quadratique modulo p et donc 1 + n + n^2 != 0 [p]
CQFD
Proposition P2 : un nombre triparfait impair est un carré parfait.
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Un nombre triparfait est donc tel que s(A) = 3A. S'il est impair, tous les p_i sont impairs et s(A) est impair également. Donc tous les n_i sont pairs et A est un carré parfait.
CQFD
Proposition P3 : Un nombre triparfait impair carré d'un nombre sans carré, s'il existe, ne contient aucun facteur premier congru à 2 modulo 3.
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Supposons que A soit le carré d'un nombre sans carré. Autrement dit, supposons tous les n_i égaux à 2. On a donc : Prod(1 + p_i + p_i^2) = 3 Prod(p_i^2)
D'après la proposition P1, le terme de gauche ne contient aucun diviseur premier congru à 2 modulo 3. Le terme de droite, A, ne contient donc aucun diviseur premier congru à 2 modulo 3.
CQFD
Proposition P4 : Un nombre triparfait impair carré d'un nombre sans carré, s'il existe, ne peut être divisible par 3.
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En effet :
Si 3 divise A, 1 + 3 + 3^2 = 13, premier, divise s(A) donc A
Si 13 divise A, 1 + 13 + 13^2 = 183 = 3*61 divise S(A). Donc 61, premier, divise S(A), donc A
Si 61 divise A, 1 + 61 + 61^2 = 3783 = 3*13*97 divise S(A). Donc 97, premier, divise S(A), donc A
Si 97 divise A, 1 + 97 + 97^2 = 9507 = 3*3169 divise S(A). Donc 3169, premier, divise S(A), donc A
Si 3169 divise A, 1 + 3169 + 3169^2 = 3*3348577 divise S(A).
Donc S(A) contient le facteur 3 au moins à la puissance 4. Donc A contient le facteur 3 au moins à la puissance 3. Ce qui est en contradiction avec l'hypothèse "n_i = 2"
CQFD
Proposition P5 : il n'existe pas de nombre triparfait impair carré d'un nombre sans carré.
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Supposons l'existence de A, nombre triparfait impair sans carré.
Soit p1 diviseur premier de A. Il est donc, d'après P3 et P4, congru à 1 modulo 3.
1 + p1 + p1^2 = 3 [9] et 1 + p1 + p1^2 est donc divisible par 3 mais pas par 9. Il existe donc p2 diviseur de 1 + p1 + p1^2 autre que 3.
p2 est donc diviseur de A, et donc, d'après P3 et P4, congru à 1 modulo 3.
1 + p2 + p2^2 est donc divisible par 3.
Donc S(A) est divisible par 9 (puisque 1 + p1 + p1^2 ET 1 + p2 + p2^2 sont divibles par 3) et donc A = s(A)/3 est nécessairement divisible par 3, ce qui est en contradiction avec la proposition P4.
CQFD
Ouf !
Nota 1 : Il y a probablement plus simple.
Nota 2 : la proposition P1 m'a beaucoup étonné et j'aimerais bien en avoir une démonstration moins "marteau-pilon".
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Patrick
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