Sin sqrt(x) < sqrt(sin x) pour 0 < x < pi/2.

Montrer que pour tout réel x tel que .

Trés joli

Pour 1=<x<pi/2 c'est ok
Pour 0<x<1, étudier la fonction f(x)=sin(x²)-sin²(x)

Bonjour;
j'achève l'idée de abdelbaki:
(*)On a en effet pour 1 < x < Pi/2 ,
1 < x^(1/2) < x < Pi/2 d'où vu la croissance du sinus sur [0,Pi/2] ,
sin(x^(1/2)) < sin(x) < (sin(x))^(1/2)
(*)Pour 0 <= x <= 1 notons f(x) = (sin(x))^(1/2)-sin(x^(1/2)) on a ,
f(0)=0 et pour x#0
2f'(x) = cos(x)/(sin(x))^(1/2) - cos(x^(1/2))/x^(1/2) > 0
puisque cos(x) > cos(x^(1/2)) et x > sin(x) (sauf erreurs bien entendu)

Une extension
Caractériser les fonctions f de [0,\pi/2] dans [0,\pi/2] telles que :

sin(f(x)) =<f(sin(x)) sur [0,\pi/2]