suite sin(u_n)=(n+u_n)cos(u_n)

on pose g(x)=sinx-(x+n)cosx
g(x)croissante car g'(x)>0 sur [0,pi/2[
et g continue sur [0,pi/2[ et g(0)<0 et g(pi/2)>0
donc il existe une seul solution

on a g_n(x)=sinx-(x+n)cosx
donc g_n+1(x)=sinx-(x+n+1)cosx
on a g_n+1(x)<g_n(x)
donc g_n+1(a_n+1)<g_n(a_n+1)
donc g_n(a_n)<g_n(a_n+1)
et puisque g est croissante donc
a_n+1>a_n
donc an croissante

2)b-
-->il est clair que (an) croissante et majorante par pi/2 alors elle est convergente.
--> calculons la limite:
on a: a(n)£]0;pi/2[ alors:
sin(a(n))=(a(n)+n)cos(a(n)) ==> tan(a(n))=a(n)+n.
==> a(n)=arctan(a(n)+n).
on a:
0 < a(n) <pi/2.
<=> n< a(n)+n <pi/2+n.
<=> arctan(n)< a(n) < arctan(pi/2 +n).
lim(n->+00)arctan(n)=lim arctan(pi/2 +n)=pi/2.
alors lim(n-->+00) a(n)=pi/2.
C.Q.F.D.
NB:
il y'a d'autres methodes.
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LaHouCiNe
@++

bonne methode lahoucine merci bcp

pas de quoi mon ami.
merci à toi egalement
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lahoucine
@++