un exo interessant en suites

slt tt lemonde:
exo page almoufid:
soit (x_n)une suite numérique telque:
il existe q de (0.1(, quelquesoit n de IN*
/x_(n+1) - x_n/=< q /x_n- x_(n-1)/

démontrer que (x_n) est convergente.

Salut rim
alors pr tt n£IN* soit q£[0;1[ on a:
|x(n+1)-x(n)|<= q|x(n)-x(n-1)|.
alors je veux seulement donner des astuces.
il faut que tu montre que:
|x(n+1)-x(n)|<=q^(n-1)|x(2)-x(1)|= hq^(n-1) (h=|x(2)-x(1)|.
et on sait que:
|x(n+1)-x(1)|=|x(n+1)-x(n)+x(n)-x(n-1)+x(n-1)+....+x(2)-x(1)|<=|x(n+1)-x(n)|+|x(n)-x(n-1)|+...+|x(2)-x(1)|.
<= som(k=1-->n-1)(q^k)*h.
==> |x(n)-x(1)|<=h*som(k=2-->n)(q^k).
==> |x(n)-x(1)|<=hq²/(1-q).
donc (x(n)) est borné alors convergente.
C.Q.F.D.
NB:
il y'a plusieurs methodes.
________________________________________________________________________
lahoucine
@++

mathema a écrit:

Salut rim
alors pr tt n£IN* soit q£[0;1[ on a:
|x(n+1)-x(n)|<= q|x(n)-x(n-1)|.
alors je veux seulement donner des astuces.
il faut que tu montre que:
|x(n+1)-x(n)|<=q^(n-1)|x(2)-x(1)|= hq^(n-1) (h=|x(2)-x(1)|.
et on sait que:
|x(n+1)-x(1)|=|x(n+1)-x(n)+x(n)-x(n-1)+x(n-1)+....+x(2)-x(1)|<=|x(n+1)-x(n)|+|x(n)-x(n-1)|+...+|x(2)-x(1)|.
<= som(k=1-->n-1)(q^k)*h.
==> |x(n)-x(1)|<=h*som(k=2-->n)(q^k).
==> |x(n)-x(1)|<=hq²/(1-q).
donc (x(n)) est borné alors convergente.
C.Q.F.D.
NB:
il y'a plusieurs methodes.
________________________________________________________________________
lahoucine
@++

stp je n'ai pas compris ce qui est en rouge si tu veux bien m'expliquer
et aussi
(-1)^n est aussi bornee mais pas convergente ,je crois qu'il faut chercher la monotonie,si c'est possible bien sur
sauf erreur

BJR à Toutes et Tous !!!

Dans cet Exo , l'idée de Lahoucine est intéressante à part quelques erreurs :
1) La majoration : |x(n)-x(1)|<=hq(1-q^(n-1))/(1-q).
2) L'erreur signalée par L à savoir : une suite BORNEE n'est pas nécessairement convergente et il en a donné un exemple !

Je pense pour ma part qu'il faille INVOQUER un argument fort et qui n'est pas du programme de BACSM !!
La suite proposée par Rim est en fait de CAUCHY dans IR donc CONVERGE , il n'y a pas lieu de voir la monotonie ou autre chose qui n'existe pas !!!
On démontre que :
|xm-xn|<={|q^m-q^n|/(1-q)}.|x2-x1| pour tout m,n entiers
puis on utilise le fait que la suite {q^n}n CONVERGE dans IR donc est de CAUCHY aussi .
En conclusion : à mon humble avis , il n'est pas possible , compte tenu de votre niveau , de fournir une telle réponse !!

Bon Dimanche à Vous

bsr Mr lhassane:
effectivement j'ai cherché ailleurs et j'ai trouvé que c'est une suite de cauchy, une suite qui ne figure pas dans le programme, ce n'est pas difficile de démontrer qu'elle est de cauchy mais j'ai pas su comment démontrer que une suite de cauchy est une suite convergente, je pense que ça figure dans les classes prépa.
en tt cas, merci M.Lhassane et mathema pour votre aide. vraiment ça donne de la frustration quand on inclut des choses hors programme dans le manuel.

salut à tous salut a Mr LHASSANE et L salut aussi rim:
alors j'ai pas dit en cas génerale si (xn) et bornée alors elle soit convergente mais dans notre cas il est clair que (|x(n+1)-x(1)|)n est bornée par une suite geometrique convergente alors elle doit converge.
j'espere que vous comprenez.
_________________________________________________________________
LaHoUcInE

salut autre fois :
la suite de Cauchy est une suite qui joue un role tres important surtout dans les E.V.N (espaces victoriels normés). car elle nous montrons qu'un espace est complé ou non...
alors a part de la suite de cauchy je vous donne une indication sur l'origine d'exo:
soit f une fonction continue et dérivable (classe C1) sur un intervalle I=[min{x(n);x(x-1)};max{x(n);x(n-1)}] avec x(n+1)=f(x(n)) et f(I)CI.
alors dans ce cas la résultat de ton exo rim est une resultat d'utilsation de T.A.F sur cette intervalle.
________________________________________________________________
LaHoUcInE
@++

mathema a écrit:

............
alors j'ai pas dit en cas génerale si (xn) et bornée alors elle soit convergente mais dans notre cas il est clair que (|x(n+1)-x(1)|)n est bornée par une suite geometrique convergente alors elle doit converge.
j'espere que vous comprenez.........

BJR Lahoucine !!
Tu dis encore quelquechose de Faux !!!!!
<< dans notre cas il est clair que (|x(n+1)-x(1)|)n est bornée par une suite geometrique convergente alors elle doit converge >>
La majoration dont tu parles est celle là :
|x(n)-x(1)|<=hq(1-q^(n-1))/(1-q).
d'une part .
Il est CLAIR que la suite majorante CONVERGE ( vers hq/(1-q)<>0 ) mais celà n'implique pas que la suite MINORANTE devrait converger !!!!!!
UN SEUL CAS est si la suite majorante converge vers ZERO et c'est le Théorème des GENDARMES !!!!

Le seul cas TRIVIAL ou tu peux conclure de cette manière est le cas ou u0=u1 et dans ce cas la suite {un}n est CONSTANTE , ce qui est sans intérêt !!!