Exo interessant de fonction ....!!!

bsr
1er indication
a laide de la 2eme egualité et en posant x=y=0 montrer que
f(0)=0 et a laide de la 1eme egualité et en posant x=y=1montrer que
f(1)=1

on a:
ƒ(x.y)=ƒ(x).ƒ(y)
ƒ(x+y)=ƒ(x)+ƒ(y)
donc:
ƒ(0+y)=ƒ(0)+ƒ(y) => f (0) =0

ƒ(1.y)=ƒ(1).ƒ(y)=> f(1) = 1

donc f s'ecrit sous forme de : ƒ(x)= a.x ( a appartient à IR ).
on sait que f(1)= 1 donc ax=1 et x=1 donc a=1.
alors f( x) = 1.x=x.

ƒ(1.y)=ƒ(1).ƒ(y)=> f(1) = 1
ƒ(1.y)=ƒ(1).ƒ(y)=> f(1) = 1 ou f=0 et il faut montrer que f#0

salut :
on a pr tt x;y£IR:
f(x+y)=f(x)+f(y)==> f(ax)=af(x).
donc: f(xy)=xf(y)=f(x).f(y).
===> f(x)=x.
NB:
ma reponse donc juste des indications mais c'est pas une reponse complete...
alors à vous de jouer.
______________________________________________________________
lahoucine
@+-+

mathema a écrit:

salut :
on a pr tt x;y£IR:
f(x+y)=f(x)+f(y)==> f(ax)=af(x).
donc: f(xy)=xf(y)=f(x).f(y).
===> f(x)=x.
NB:
ma reponse donc juste des indications mais c'est pas une reponse complete...
alors à vous de jouer.........

Lut Frérot !!
IL NE FAUT PAS OUBLIER que f=0 sur IR est ossi une SOLUTION du system !!!! Donk l'énoncé était faux au départ !!!
Hormis celle-là :
Avc ce genre d'exo , vous pouvé tout démontrer jusqu'à Q :
on pe montrer que si f est NON IDENTIKEMEN NULLE sur IR alors f(r)=r pour tout r dans Q
MAIS , pas possible de sauter la BARRIERE vers IR à défaut de monotonie ou de continuité okel cas on utilise la densité de Q dans IR ....

f(x+y)=f(x)+f(y)==> f(ax)=af(x).
non cé trop vite montre d abord f(2x)=2f(x) et apres a l aide d1 demonstration par reccurrence f(nx)=nf(x) !

la demo de f(nx)=nf(x) par reccurence.
on va montrer que:
f((n+1)x)=(n+1)f(x).
(n+1)f(x)=f(x)n+f(x)
on sait que: f(nx)=nf(x) alors:
(n+1)f(x)=f(x)n+f(x)=f(nx)+f(x)
=f(nx+x)
=f(x(n+1)).
donc: f(xy)=xf(y)=f(x).f(y) => f(x)=x.

on a (( pour tout (x,y) £ R^2 ))
on peut pas faire la récurrence ????????

nn, n est un entier naturel.

nn on peut po faire de recurrence dans lR
h99 je pense que tu as demontrer que pr tt n appartenant a lN
f(nx)=nf(x) et x£lR
donc tu peux po poser n=y ou n=x !! n'est-ce pas ?

je n'ai rien pose!!!

n appartient à IN.

h99 a écrit:

la demo de f(nx)=nf(x) par reccurence.
on va montrer que:
f((n+1)x)=(n+1)f(x).
(n+1)f(x)=f(x)n+f(x)
on sait que: f(nx)=nf(x) alors:
(n+1)f(x)=f(x)n+f(x)=f(nx)+f(x)
=f(nx+x)
=f(x(n+1)).
donc: f(xy)=xf(y)=f(x).f(y) => f(x)=x.

ta cc est rapide montres f(-x)=-f(x) et conclure pr nEZ !

salut à tous :
ce n'est pas ça ce que je veux dire mais il est clair que c'est 1BAC alors on a pas le droit de compliquer les choses et pour résoudre ce probleme j'ai la capacité de le faire mais au haut niveau de ça mais dans ma réponse j'ai donné juste une idée ce n'est une reponse complete et a la fin de votre discussion chaud je poserai ma reponse vraie et complete.
et merci
________________________________________________________
lahoucine

je crois ke jé la réponse

1) On va démontrer par récurrence que pour tout n de N : f(n)=n
2) On va démontrer que pour tout m de Z : f(m)=m
3) On va démontrer que pour tout r de Q : f(r)=r
Donc f(x)=x pour tout x de R
Voulez vous la solution ??

madani a écrit:

bsr
1er indication
a laide de la 2eme egualité et en posant x=y=0 montrer que
f(0)=0 et a laide de la 1eme egualité et en posant x=y=1montrer que
f(1)=1

Lut Mr Madani !!
Vous me voyez désolé de vous rektifier mais kan on fé x=y=1 on obtient
{f(1}^2=f(1)
Ce qui donne 2 choix pour f(1)
a) Soit f(1)=0 qui konduit tout droit vers la soluce f=0 sur IR
b) Soit f(1)=1 qui konduira à grands efforts de raisonnement par rekurrence , par densité de Q dans IR et en supposant en fét que f est CONTINUE à f(x)=x pour tout x dans IR

Lotus_Bleu a écrit:

madani a écrit:

bsr
1er indication
a laide de la 2eme egualité et en posant x=y=0 montrer que
f(0)=0 et a laide de la 1eme egualité et en posant x=y=1montrer que
f(1)=1

Lut Mr Madani !!
Vous me voyez désolé de vous rektifier mais kan on fé x=y=1 on obtient
{f(1}^2=f(1)
Ce qui donne 2 choix pour f(1)
a) Soit f(1)=0 qui konduit tout droit vers la soluce f=0 sur IR
b) Soit f(1)=1 qui konduira à grands efforts de raisonnement par rekurrence , par densité de Q dans IR et en supposant en fét que f est CONTINUE à f(x)=x pour tout x dans IR

d abord ça me fait 1 grand plaisir d etre rectifie ou mm corrigé et pr ton intervention je suppose que la slt f=0 est a ecarter car je coix que cé un oublie de l auteur de l exo et pour la continuité de f dont tu parle je voix qu elle n est pas mensionnée ds l ennoncé!!

1) On va démontrer par récurrence que pour tout n de N : f(n)=n
2) On va démontrer que pour tout m de Z : f(m)=m
3) On va démontrer que pour tout r de Q : f(r)=r
Donc f(x)=x pour tout x de R
Voulez vous la solution ??

salut lotus-Bleu la continuite c'est pas un grande probleme a demontrer et pour que tu bien t'explorer je vous donne une sujet à démontrer:
f:IR-->IR
f(x+y)=f(x)+f(y)
Montrer que si f est continue au 0 alors elle est continue sur IR
bonne chance
___________________________________________________________________
LaHoUcInE
@++

rabab moubine a écrit:

1) On va démontrer par récurrence que pour tout n de N : f(n)=n
2) On va démontrer que pour tout m de Z : f(m)=m
3) On va démontrer que pour tout r de Q : f(r)=r
Donc f(x)=x pour tout x de R
Voulez vous la solution ??

il faut peut etre passer par l etape f(1/p)=1/p !

mathema a écrit:

salut lotus-Bleu la continuite c'est pas un grande probleme a demontrer et pour que tu bien t'explorer je vous donne une sujet à démontrer:
f:IR-->IR
f(x+y)=f(x)+f(y)
Montrer que si f est continue au 0 alors elle est continue sur IR
bonne chance
___________________________________________________________________
LaHoUcInE
@++

sorry l exo est pour les 6emes!

oui je sais Mr madani mais c'est une question pour lotus_Bleu qui demande la demonstration de la CONTINUITE de f sur IR.

et pour vous rabab moubine
pour montrer que f(x)=x sur IN;Z;Q respectivement c'est trivial!!!! en effet:
il est clair que f(1)=1 (car f#0 supposé)
*) alors dans IN.
f(nx)=f(x)+f((n-1)x)=f(x)+f(x)+f((n-2)x)=...=nf(x).
alors pr tt n£IN: f(nx)=nf(x) (x£IR).
posons x=1. f(n)=n.
*) dans Z il est clair que f(-x)=-f(x):
en effet:
f(x-x)=0=f(x)+f(-x)==>f(-x)=-f(x).
alors c'est trivial pour Z.
*) dans Q:
soit r=q/p £Q avec (q£Z et p£IN*).
f(pq/p)=q.f(1)=q=pf(q/p)==> f(q/p)=q/p==> f(r)=r.
*) il ne reste dans IR or ça notre probleme et je la laisse a la fin
merci
___________________________________________________________________
lAhouciNe
@++