Interessant :) !

Bonsoir,

Voila une casse tête qui est « le dual du théorème fondamental d’algèbre »:



Soit u tel que pour toute f continue sur [0,1] on a:

"Si $ \int_0^1 f(x)\dx=0 Alors \int_0^1 f(x)u(x)\=0 $ "


Montrer que si u est continue sur [0,1] alors u est constante.

Bon la qualité est nulle , je le mets en format png :

soit k= int(0,1)(u)

alors int(0,1)( u-k)=0 donc int(0,1) ( u(u-k))=0

ceci implique que : int(0,1) (u²)= (int ( 0,1) u)²

mé d'apres cauchy shwarz int( u²) int ( 1) >= int ( u)^2 ( l'integration de 0 --> 1 ) avec égalité ssi u=cte , reciproquement u=cte verifie les conditions , peut etre j'ai commis une erreur qlq part

boujmi3 a écrit:

soit k= int(0,1)(u)

alors int(0,1)( u-k)=0 donc int(0,1) ( u(u-k))=0

ceci implique que : int(0,1) (u²)= (int ( 0,1) u)²

mé d'apres cauchy shwarz int( u²) int ( 1) >= int ( u)^2 ( l'integration de 0 --> 1 ) avec égalité ssi u=cte , reciproquement u=cte verifie les conditions , peut etre j'ai commis une erreur qlq part

La démo est juste!

voici une autre:
int(0,1)( u-k)=0 ==> int(0,1) ( u(u-k))=0==> int(0,1) ( u²)=k²
int(0,1) ( u(u-k))=0==> int(0,1) ( u²(u-k))=0==> int(0,1) ( u^3)=k^3

ainsi de suite pour tout n, int(0,1) ( u^n)^(1/n)=k

On sait que lim {int(0,1) ( u^n)}^(1/n) = Max(u) sur [0,1] ( classique)

==> Max(u)=k
Donc int(0,1)( u-k)=0 ==> u=k

abdelbaki.attioui a écrit:

On sait que lim {int(0,1) ( u^n)}^(1/n) = Max(u) sur [0,1] ( classique)

Très beau résultat !

Bonjour,
oui c'est exacte boujmi3.
Pour la limite n->+00 c'est la |Max(u)| , mais ça peut s'arranger pour le signe par desinegalites.
La version qui n'est pas facile c'est on reécrivant l'exercice avec cette implication:
int(0,1)f.u=0 => int(0,1)u=0.

Ps:mes meilleurs vœux pour cette année

dans les deux cas d'implication on peut voir que les deux termes sont des formes lineaire sur l'espace des fonctions continues qui admettent des noyaux emboités.
Ker(phi) inclu dans Ker(psi) donc il existe lambda (il faut admettre que en dimension infini deux hyperplans emboités sont egaux !! ) tel que :

int(0,1)f.u= int(0,1) lambda*f en prenons f=u-lambda ona int((u-lambda)^2)=0
donc u est constante.