Un triangle équilatéral particulier

ABC est un triangle équilatéral dans le plan affine euclidien (P).
Peut on trouver un repére orthonormé de (P) dans lequel
les points A , B et C seraient à coordonnées rationnelles ?

Bonjour,

Les coordonnées des trois sommets sont : (x0, y0), (x1 = x0 + c*cos(t), y1 = y0 + c*sin(t)) et (x2 = x0 + c*cos(t+pi/3), y2 = y0 + c*sin(t+pi/3))

Alors :
Si y1 <> y0 : racine(3) = (x0 + x1 - 2x2)/(y1 - y0) ==> impossible (x0, x1, x2, y0 et y1 rationnels, racine(3) irrationnel)
Si y1 = y0 : x1 <> x0 et racine(3) = 2(y2 - y0)/(x1 - x0) ==> impossible itou.

Donc impossible.

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Patrick

On ne peut effectivement pas. (mais je n'ai pas voulu le dire avant afin de ne pas gâcher le plaisir de ceux qui ne connaîtraient pas ce truc )

C'est un résultat très classique. On ne peut pas inscrire un polygône régulier dans un repère orthonormé.
A part un carré bien sûr.