un triangle équilatéral

L'Exercice 1 proposé aux olympiades français 2006 Versailles
Soit ABC un triangle équilatéral de côté a et de centre O.
On considère un point M du segment [AB]. On pose x = AM.
Si les droites (MO) et (AC) sont sécantes, on appelle N leur point d'intersection.

1: Quel est l'ensemble I des réels x pour lesquels N appartient au segment [AC]?

2: Pour tout x élément de I, on note S(x) l'aire du triangle AMN.
Quelles sont les valeurs minimale et maximale de S(x)?

Avec une petite construction géométrique,
on répond facilement à la question :



L'aire bleu et l'aire rose sont égale.

On voit alors que l'aire en question est clairement croissante avec x.

d'où le minimum et le max.

I est l'intervalle [a/2 ,a]

je connais bien cette épreuve la,elle a été posé aux olympiades académiques françaises,un élève du lycée edmond rostand a reussi a faire presque toute l épreuve sauf la 2question d l exo 4
je trouve bien la solution de goog142857(clement de louis le grand) , il a réussi a faire tte l épreuve en 1h30!il faut noter qu il est nul en geometrie !!!

I=[a/2,a]U{0}. On ajoute {0} car pour M=A on a aussi N=A.

s(x)=1/2 AM AN sin(A) =rac(3)/4 . ax²/(3x-a). On voit alors que :
s(x) est maximal pour x =a/2 ou x = a.
s(x) est minimal pour x = 2a/3. ( MN // BC)

en utilisant le théoreme d associativité du barycentre on déduit que :
AN=ax/(3x-a)
d ou: s(x)=rac(3)/4*ax²/(3x-a)