exo des accroissement infinie

soit g(x)=f(x)-x x e [0.pi]=I
g derivable sur I tel que
g'(x)=cosx/2-1
1/2cosx=cos²(x/2)-1/2=1/2-sin²(x/2)
1/2/cosx-1=-1/2-sin²(x/2)<0 donc g strictement decroissante sur I
g continue sur I car somme de fonctions continues sur I donc g bijection de I vers J=[2-pi.2] et comme 0 e J alors
E!@ de I/f(@)=@
f derivable sur I tel que qqsoit x de I
f'(x)=1/2cosx
donc /f'(x)/<1/2 pour tout x de I
on sait que
x|-->1/2sinx derivable sur R donc sur ]0.pi[
donc f dderivable sur ]0.pi[et continue sur I
soit x de I /x#@ f continue et derivable sur ]x.@[ ou]@.x[
selon TAF E c de ]@.x[ (ou ]x.@[) f(x)-f(@)=f'(c)(x-@)
comme f'(c)<1/2 alors /f(x)-f(@)/<=1/2/x-@/
verifions si qqsoit n de N Un#@
pour n=0
U0=1 et f(1)#1 donc @#1 donc U0#@
soit n de N supposons pour n et demontrons pour n+1
f est bijective donc injective de I vers J
donc si
Un#@===>f(Un)#f(@)==>Un+1#@
donc qqsoit n de N Un#@
on peut alors poser x=Un
on aura
/Un+1-@/<=1/2/Un-@/
on demontre par reccurence que
/Un-@/<(1/2)^n/U0-@/
lim1/2^n=0==>lim/Un-@/=0 donc (Un) est convergente tel que limUn=@
sauf erreur

peut tu m'expliquer pourquoi on doit démontrer que qqsoit n de lN Un#@ ??

on peut pas ecrire
f'(c)=(f(Un)-@)/(Un-@) si @=Un

tu n'as pas besoin de l'ecrire !!

merci L

c le taf pas le tai

tazayoudate mountahia

t.a.f théorème d'accroissement finis

merci pour l'ex c sympa