la descente infinie de fermat c koi?

SLUT KESKE LA DESCENTE INFINIE

EDIT par mathman : j'ai déplacé ce sujet dans la section "Arithmétique". (Il était originalement dans la section "Inégalités".)

La descente infinie est une methode introduite et abondamment utilisée par Fermat.Le but est de prouver qu'une certaine équation diophantienne n admet pas (ou trés peu)de solution.pour cela on part d une solution hypothetique et on en construit une nouvelle,strictement plus petite dans un certain sens.
On obtiendrait ainsi une suite strictement décroissante de solution,ce qui n est en general pas possible

Bonjour,

La réponse de Fermat (celui du forum ) est parfaitement claire et correcte.

Maintenant, il ne faut pas se laisser impressionner par le terme. Ce n'est rien d'autre qu'une forme de raisonnement par l'absurde très classique :

Je suppose l'ensemble des solutions non vide.
Comme c'est un sous-ensemble de N, ou N^2, ou N^3 (selon le problème), il admet un ou plusieurs plus petits éléments (selon une relation d'ordre à préciser : ordre des max, ordre de la somme, ordre d'une des composantes, ...).

On prend un de ces plus petits éléments et on montre qu'il y en a un plus petit ==> absurde ==> ensemble des solutions vide.

Exemple très simple de ce que l'on pourrait appeler la descente infinie :

Je veux démontrer que racine(2) est irrationnel.
Donc que l'équation diophantienne p^2 = 2q^2 avec p et q dans N* n'a pas de solutions.

1) je suppose une solution (p,q)
2) j'en déduit que p est pair ==> p=2p1 ==> 4p1^2 = 2q^2 ==> q^2 = 2p1^2 ==> q est pair ==> q=2q1 ==> 4q1^2 = 2p1^2 ==> p1^2 = 2q1^2
Donc, si (p,q) est solution, p et q sont pairs et (p/2, q/2) est solution.

etc ....

Donc il n'y a pas de solution,

et racine(2) est bien irrationnel (ouf!)

--
Patrick

meeerci bocoup