Espace vectoriel de dimension infinie

Soit f £ L(e) tel que f^3=id_e
1- Montrer que Ker(f-id)+Im(f-id)=E
2-Montrer que Ker(f-id)=Im(f²+f+id) et Im(f-id)=Ker(f²+f+id)

1-il suffit de demontrer que Im(f-id)=Im(f²-2f+id) ce qui est facile avec f^3=id
2-x£ker(f-id)=>f(x)=x et f²(x)=x
=>x=f²(x/3)+f(x/3)+x/3=>x£Im(f²+f+id)
reciproquement x£Im(f²+f+id)=>il existe c de E tel que f²(c)+f(c)+c=x => f(x)=c+f²(c)+f(c)=x =>x£kar(f-id)
d'ou Im(f²+f+id)=ker(f-id)
pour l'autre mm raisonement

Bonsoir kalm,
avant tout merci pour votre raiponse , pour ma par j'ai fait une recherche que je n'arrive pas à terminer !(Je vous prix d'y jeter un coup d'œil

1- j'ai vérifié que (f²+f+id)/3 est un projecteur puis montrer que Im(f-id) et son noyau sont les mêmes que ceux de (f²+f+id)/3

2- On a f^3=id => f^3-id=0
=> quel que soit x£E (f-id)o((f²+f+id)(x)=0
=>Im(f^2+f+id) est inclus dans ker(f-id)
Soit y£Ker(f-id) => f(y)=y et f²(y)=y et y=y
d'où y=(f²(y)+f(y)+y)/3 =((f²+f+id)(y)/3
alors y £ Im(f²+f+id) et Im(f²+f+id)=Ker(f-id)
on a (f²+f+id)o(f-id)=0 => quel que soit x £ E (f²+f+id)o(f-id)(x)=0
=> Im(f-id) est inclut Ker(f²+f+id)
Soit y £ Ker (f²+f+id)
et la je blok (existe t il x£E tl que f(x)-x=y) !!!

salam stifler

tu choisis x = 1/6.[f²(y) - f(y) - 3y]

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en effet : f(x) - x = 1/6.[f^3(y) - f²(y) - 3f(y)] - 1/6.[f²(y) - f(y) -3y]

= 1/6.[y + f(y) + y - 3f(y)] -1/6.[-f(y) - y - f(y) - 3y]

= 1/6.[2y - 2f(y) + 2f(y) + 4y] = y

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stifler a écrit:

Soit f £ L(e) tel que f^3=id_e
1- Montrer que Ker(f-id)+Im(f-id)=E
2-Montrer que Ker(f-id)=Im(f²+f+id) et Im(f-id)=Ker(f²+f+id)

BJR à Toutes et Tous !!
BJR stifler !

Tout se fait à partir du polynôme P(X)=X^3 - 1 , de sa factorisation selon P(X)=(X-1).(X^2 +X+1) et de la relation entre polynômes d'endomorphismes que l'on obtient en remplaçant l'indéterminée X par f :
{f-id}o{f^2+f+Id}=O égalité dans L(E).

Bonne Journée !!

Bonsoir à tous,
Merci pour vos réponses , en fin de compte je l'ai résolut aujourd'hui en cours et la méthode était la même que la votre Monsieur Œil_de_lynx l'utilisation du polynôme P(X)=(X-1).(X^2 +X+1) et le fait que existe (U,V)£IR[X]² tq U(X-1)+V(X^2 +X+1)=1 ....
sur ce je vous dit bonne soirée à tous !