Espace vectoriel de dimension finie

Bonjour,
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît?
Merci d'avance

Soient f et g 2 application linéaires de E dans F où E est un IK- espace vectoriel de demension finie et F un IK-espace vectotiel quelconque.(+): + cerclé

Montrer que rg(f+g)=rg f + rg g <=>Im(f + g)=Im f (+) Im g.

A+

Simples arguments de dimension :

<= : évident car rg(f+g)= dim Im(f+g) = dim ( Im(f) (+) Im(g) )=dim Im(f) + dim Im(g) =rg(f) + rg(g)

=> : on sait que Im(f+g) est inclus dans Im(f) + Im(g). (simple vérification)

Donc :

rg(f) + rg(g) = rg(f+g) <= dim ( Im(f) + Im(g) ) = dim Im(f) + dim Im(g) - dim (Im(f) inter Im(g) ) = rg(f) + rg(g) - dim (Im(f) inter Im(g) )

On obtient dim (Im(f) inter Im(g) ) = 0 donc la somme est bien directe.

Ainsi Im(f+g) est inclus dans Im(f) (+) Im (g) et par hyp. ils ont même dimension, donc ils sont égaux.

Attention: on utilise implicitement partout que les dimensions considérées sont finies (car E est de dim finie)