Dimension finie

Soit f un endormorphisme de E nilpotent d'indice n non nul

montrer qu'il existe a de E tq (a, f1(a),....,fn-1(a)) soit une base de E

fk(a)=fofofof k fois

n indice de nilpotence==> il existe a tq fn-1(a) nn nul.
F est libre (on compose par fn-1 et ainsi de suite)==>f base(en supposant dimE=n).

Mahdi a écrit:

Soit f un endormorphisme de E nilpotent d'indice n non nul

montrer qu'il existe a de E tq (a, f1(a),....,fn-1(a)) soit une base de E

fk(a)=fofofof k fois

n est l'indice de nilpotence => l'existence d'un a tq f(n-1)(a)#0 .la famille (a, f1(a),....,fn-1(a) est libre car si Sum(bk*fk(a))=0 en compsant a chaque fois par f(n-1-k) on montre que bk est nul ; ainsi la famille est libre maximale => base

Pour moi c'est compris, pour d'autres ça ne serait pas le cas.
J'insiste sur la simplicité des raisonnements et sur la clarté des démonstrations. Merci saad pour avoir mieux transmis l'idée.

Bon, c'est assez classique : soit n un entier naturel non nul

Soit f un endomorphisme d'ev E nilpotent d'indice de nilpotence n.

On a donc f^n=0 et f^k différent de l'application nulle pour tout k allant de 0 à n-1.

En particulier, il existe un élément a de E tel que f^(n-1)(a) non nul.
Montrons que la famille (f^k(a))k=0...n-1 est une libre dans E.

On considère (x_k)k=0...n-1 une famille d'éléments du corps K associé à l'ev E tel que sum[a_k.f^k(a), k=0...n-1] = 0

Puis je compose ensuite par f^k pour chaque k allant de 0 à n-1 des deux côtés de l'égalité. En exploitant la linérité et la nilpotence de f plus le fait que f_n-1(a) est non nul, on trouve :

pour k=n-1, a_0 = 0
...
pour k=0, il reste : a_n-1 = 0

CQFD