Question n°14: Espaces vectoriels de dimension finie

1) fog=0 ==> Im(g)C ker(f) , d'après le th. du rang on a :
n=dim Kerf(f) +rg(f) >= rg(g) +rg(f)

2) d'près 1) , n>= rg(g) +rg(f)=n+rg(f) car rg(g)=n ==> rg(f)+rg(g)=n.

3) soit F un supplémentaire de Ker(f) ===> rg(f)=dim F
Soit g la projection sur Ker(f) //F ==> Ker(f)=Im(g) et F=Ker(g)
==> fog=0 et gof #0 et rg(g) +rg(f)=n

Soit E un IK-ev de dimension finie n.

1) Soit f,g€L(E) tels que fog=0. Montrer que rg(f)+rg(g)=<n.

2) Soit f€L(E). Montrer qu'il existe g€L(E) : fog=0 et rg(f)+rg(g)=n.

3) Soit f€L(E) avec f non nul et rg(f)<n. Montrer qu'il existe g€L(E) : fog=0, gof non nul et rg(f)+rg(g)=n.