Espaces vectoriels normés

Soit (E,||.||E) et (F,||.||F)
1) Mque si dimE=n alors pour tt u£ L(E,F) est continue
2) trouver une A.L u£ L(E,F) tq u ne soit pas continue
3) |||u|||=sup||u(x)|| pour ||x||E <1 est norme sur Lc(E,F) qui est l'ensemble des A.L de E dans F continues
Montrer que ||u(x)||F<= |||u|||.||x||E

1) E étant de dimension finie n, soit (e1, ..,en) une base de E.
soit u dans L(E,F) ,
pour tout x dans E , x=somme(xi*ei) i=1..n
donc u(x) =somme(xi*u(ei)) i=1..n
les u(ei) étant des constantes (fixes) , u est alors une application polynomiale en les composantes des vecteurs de E. par suite u est continue.
2)E( devant etre de dimension infinie) est l'espace vectoriel des fonctions de [0,1] dans R,
soit u :E -->E
f ----->u(f)=integrale(f) entre 0 et 1.
u est bien linéaire de E dans R.
on considère la suite de fonctions de [0,1] dans R:
pour tout n non nul , pour tout x de [0,1] : fn(x)=1/(x+n)
on a (fn)n converge simplement vers 0 ,
mais u(fn)= integrale (fn) sur [0,1] = log(n+1) ne converge pas vers u(0)=0
conclusion u n'est pas continue (contraposée e la caractérisation séquentielle de la continuité)

3)on va montrer tout d'abord que lllulll=sup||u(x)|| pour ||x||E <1
n'est autre que sup||u(x)|| pour ||x||E =1.
u étant continue , alors continue sur la boule fermée B(0,1) , qui est compacte , donc elle y est bornée et atteind ses bornes.
en plus pour tout x (non nul) dans E tel que llxllE<1 (donc à lintérieur de la boule) , pour y=x/llxllE , llyllE=1
donc llu(y)llF<=sup llu(x)llF pour llxllE=1.
u étant linéaire on a llu(x)llF/llxllE<=sup llu(x)llF pour llxllE=1
donc llu(x)llF<=sup llu(x)ll*llxllE (come llxllE<1)
<sup llu(x)ll pour llxllE=1
donc le sup de u sur la boule ouverte(0,1) est atteint sur sa frontière , càd pour les llxllE=1.
terminons maintenant la question :
pour x dans E
x=0 c'est évident car u(0)=0
x différent de 0,
(le meme travail)
pour y=x/llxllE , llyllE=1
donc llu(y)llF<=sup llu(x)llF pour llxllE=1.
u étant linéaire on a llu(x)llF/llxllE<=sup llu(x)llF pour llxllE=1
donc llu(x)llF<=sup llu(x)ll*llxllE
qui est quivalent à dire que ||u(x)||F<= |||u|||.||x||E.
d'ou le résultat