Si dim E=+00 , alors il existe une forme linéaire f de E non continue.
en effet: soit (e_i) base de E indexée par un ensemble I infini.
On peut supposer que IN c I !
Soit f : E ---> IR linéaire telle que f(e_i)= i ||e_i|| si i dans IN
et f(e_i)=0 sinon. CQFD
Pour répondre à la question, Il suffit alors de montrer que toute forme linéaire de E est continue ( dual topologique E' =dual algèbrique E*)
Soit f dans E*, on considère la norme N(x)=||x||+|f(x)|
Par hypothèse, il existe a>0 tel que ||x||+|f(x)|=<a||x|| qqs x dans E
==> |f(x)|=<(a-1)||x|| qqs x dans E CQFD
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