Topologie des espaces vectoriels normes

SLT on vient de commencer le cours concernant la Topologie des espaces vectoriels normes
mais je sais pas comment procéder pour montrer qun ensemble est ferme ou bien ouvert donc jespere a travers ces exemples avoir une idée la methode quon suive pour résoudre ce genre de questions


Dire si les ensembles suivants sont ouverts ou fermes :

A = {(x, y) ∈ R^2 ; 0 < |x − 1| < 1}


H = {(x, y) ∈ R^2 ; 2ln|x^2 + 1|> 0}.

B = {(x, y) ∈ R^2 0 ≤ x ≤ y}

1ére méthode
(x,y) dans A <==> y dans R et x dans 0<x<2 et x#1

Alors A = ]0,2[\{1] X R c'est un ouvert de R² car produit de 2 ouvert de R

2éme méthode
Soit (x,y) dans A, 0<|x-1|<1 on prend un r tel que 0<r<1-|x-1| et 0<r<|x-1|
Alors B((x,y),r) C A en effet
soit (u,v) dans B((x,y),r) alors |u-x|<r et |v-y|<r alors u#1
et |u-1|=|u-x+x-1|=< |u-x|+|x-1|<r+|x-1|<1 cqfd
Donc par définition A est ouvert de R²

3éme méthode
soit f : R² ---> R définie par f(x,y)=|x-1|
f continue sur R² et A=f^(-1) ]0,1[ et comme ]0,1[ ouvert de R alors A ouvert de R²