Normes sur C([0, 1], IR)

Soit E = C([0, 1], IR) le IR-espace vectoriel des applications continues de [0, 1] vers IR, muni de la norme

Soit g € E. Pour toute fonction f de E, on pose Ng(f) = ||fg||.
1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la fonction g pour que Ng soit une norme sur E.
2. Dans ce cas, à quelle condition sur g les normes Ng et || || sont-elles équivalentes ?

1- je propose comme CNS que si A = { x € [0..1], g(x) = 0 } alors Å = Ø (vive l'ascii étendu !)

. déjà si Å != Ø il suffit de prendre f une fonction non nulle sur (un intervalle non vide de) Å pour mettre en défaut ||f|| = 0 => f = 0

. si Å = Ø et ||f|| = 0 et f != 0. f(x0) != 0,

0 = |f(x) g(x)| > |f(x0)|/2 |g(x)| sur un intervalle non vide autour de x0 par C° de f et donc g est nulle sur un intervalle non vide : contradiction


J'ai oublié de répondre à la 2ème question ...

2- je propose A = Ø

|g| étant continue atteint son minimum et on a une des 2 inégalités d'équivalence facilement.


si ||f|| <= d * ||N_g(f)|| et g(x0) = 0 : il suffit de prendre une fonction f > 0 qui atteint son max en x0 pour avoir une contradiction.

Oui c'est ca. J'ai un petit prolongement de cet exercice.
On suppose A={x/g(x)=0} #Ø mais Å =Ø .
(E,Ng) est alors un evn, est-il complet?

abdelbaki.attioui a écrit:

Oui c'est ca

abdelbaki.attioui a écrit:

est-il complet?

Je crois que par forcément :

g(x) = x
f_n(x) = 1/(1+n·x)

f_n est de Cauchy mais converge vers une fonction non C°.

Ok, Voici une autre demo
(E,Ng) n'est pas complet. Sinon, les normes || || et Ng etant comparable et (E,|| ||) Banach. Alors d'après le Th. de Banach elles seront équivalentes. Ce qui est faux puisque A#Ø