tout sev fermé de C° contenu dans C1 est de dimension finie

Soit E = l'espace de Banach des applications

continues de [0,1] dans IR, munie de la norme de la convergence uniforme.

Montrer que tout sous-espace fermé F de E, contenu dans
, est de dimension finie.

Supposons que l'espace soit de dimension infinie. La boule unité fermée B(0, 1) est alors un sous-ensemble fermé, borné et non compact de C([0, 1], R), donc, d'après le théorème d'Arzelà-Ascoli, elle ne peut pas être équicontinue.
Maintenant, on peut sortir l'artillerie lourde pour tuer la mouche.
Il suffit de considérer l'application f |--> f' de F vers C[0,1]. Son graphe est fermé et, donc, l'application est bornée, donc ||f'||_{C[0,1]} est bornée par une certaine constante dans la boule unité de F. Ceci est plus que suffisant pour l'équicontinuité.

mathman a écrit:

Supposons que l'espace soit de dimension infinie. La boule unité fermée B(0, 1) est alors un sous-ensemble fermé, borné et non compact de C([0, 1], R), donc, d'après le théorème d'Arzelà-Ascoli, elle ne peut pas être équicontinue.
Maintenant, on peut sortir l'artillerie lourde pour tuer la mouche.
Il suffit de considérer l'application f |--> f' de F vers C[0,1]. Son graphe est fermé et, donc, l'application est bornée, donc ||f'||_{C[0,1]} est bornée par une certaine constante dans la boule unité de F. Ceci est plus que suffisant pour l'équicontinuité.

Le graphe de f--> f' de F vers C[0,1] est fermé dans F X C[0,1] n'est pas immédiat!