une projection dans un espace vectoriel

Soit E un espace vectoriel de p£L(E) une projection

Monter que pour tout µ£IK/{-1} id_E+µp est un isomorphisme de E.

L(E) l'ensemble des applications linéaire de E dans E

compose avec idE-up ...

salut stifler !

bon il est clair que Id £ L(E) et ùp£ L(E) d'où la linearité de Id+µp.
il faut montrer que Id+µp est bijective ce qui est simple à etablir...
bonne chance
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homeomorphisme dans L(E)...

Weierstrass a écrit:

compose avec idE-up ...

oui Mahdi c'est une bonne idée
d'une façons plus génerale pour f£L(E)....
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dsl mais vous faites allusion a quoi quand vous dire composition par ide-µp ! je me pencherai sur le cours puis plongerai dans les exercices après mon DS demain sur sur les polynômes et l'arithmétique ! merci pour l'idée !

salam

pour la linéarité je pense sans pb

pour l'isom.

je pose f= Id + up

soit y€ E résolvons : f(x) = y

x + up(x) = y
p(x) + upop(x) = p(y)

p(x) + up(x) = p(y)

(1+u)p(x) = p(y)
comme u#-1 ====> p(x) = p(y)/(1+u)

===> x = y - up(x) = y - p(y) /(1+u)

donc :
pour tout y €E , il existe x € E unique tel que : y = f(x)
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voir les choses avec modestie
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Pour la linearité , tellement triviale...

Par contre la bijectivité peut etre etablie en trouvant un endormorphisme avec qui la composition du tien donne idE

salam

ce FAMEUX endomorphisme que vous y tenez

c'est ce que j'ai trouvé

x = f^-1(y) ====> f^-1 = Id - (1/(1+u)).p.

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