Notons F le projeté de D sur (AB) on a alors:
Un petit coup de Pythagore dans le triangle EBC nous donne BC=V(3/2)
Les triangles DEF et BCE sont semblables, car tous les angles sont égaux (pour s'en persuader, on peut utiliser le sinus et le cosinus de l'angle 'C' dans EBC pour trouver ECB=30° donc BEC=60°... donc DEF=30° et FDE=60°)
On a donc: DF/DE=EB/EC (c'est d'ailleurs cos(EDF)=cos(BEC)). On en tire DE=2DF
Le parallelisme de (DF) et (CB) nous permet d'utiliser le théorème de thalès pour ecrire: AD/AC=DF/CB soit encore après simplification:
1/(1+a)=DF/V3/2
on y injecte DE=2DF pour doner .
Dans le triangle DEC rectangle en E, pythagore nous permet d'établir: DC^2=DE^2+EC^2 soit:
a^2=DE^2+1, Or, DE est déterminé en fonction de a, après simplifications on obtient l'équation:a^4+2a^3-2a-4=0
Or -2 est racine "évidente" de cette équation... qui devient:
(a+2)(a^3-2)=0
a étant positif (c'est une longueur) on a donc a=(V2)^3 OUF !
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