continuité

1. Soit f une fonction continue et injective sur [a.b] .
Montrer que f est strictement monotone .

2 . soit f une fonction continue est décroissante sur IR .
montrer que f admet un point fixe .MP

1. suppose qu'elle n'est pas strictement monotone :
ie x,y £ [a,b] x/=y et f(x)=f(y)
mais f(x)=f(y) ==> x=y (injectivité)
donc x=y et x/=y absurde

2.pose h(x): x/--> f(x)-x
h continue et décroissante sur R
on a h(0)=f(0)
et h(f(0))=f(f(0))-f(0)
*si f(0)>0 ==> f(f(0))<f(0)==>h(f(0))<0 et h(0)>0
*si f(0)<0 ==> f(f(0))>f(0)==>h(f(0))>0 et h(0)<0
dans les deux cas h(0).h(f(0))<0
donc ie c / h(c)=0
<=> ie c / f(c)=c

merci