Continuité 2

on na pas etudier encore

Salut Imane et salut à tous :
Reponse:
1) on a Df=IR alors pr tt x£IR x+1£IR donc:
f(x+1)= min|x+1-k|(k£Z) on a k£Z alors k-1£Z d'ou on pose k'=k-1 donc on aura f(x+1)=min|x-k'|=f(x) puisque k'£Z. alors 1 est le periode de f.
2)puisque le periode de f est 1 alors on peut etudier f sur l'intervalle [0,1] donc pour cette raison on a f est clairement admet un axe de symetrie en point 1/2 car f(1-x)=min|1+x-k|=min|x-(1-k)|=min|x-k"|=f(x) (avec k"=1-k £Z) alors:
1) soit x£[0,1/2] alors pour que la distance |x-k| soit minimale il faut que k=0 alors f(x)=|x|=x car x>0.
2) soit x£[1/2,1] alors pour que la distance |x-k| soit minimale il faut que k=1 alors f(x)=|x-1|=-(1-x)=1-x car x<1.
CONCLUSION:
f(x)=x si 0<= x <=1/2.
f(x)=1-x si 1/2< x <=1.
3) pour montrer que f est continue sur IR il suffit de montrer qu'elle est continue sur [0,1]:
alors on a lim(x->0+)f(x)=f(0)=0 et lim(x->1-)f(x)=f(1)=0
donc f est contine a droite de 0 et à gauche de 1.
et on a lim(x->1/2-)f(x)=f(1/2)=1/2 = lim(x->1/2+)f(x)=1/2.
alors elle est continue en 1/2.
CONCLUSION:
f est continue sur IR.
REMARQUE:
la fonction f etudie la distance entre un reel avec un entier donné. donc il est clair que la fonction distance est continue sur IR.
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LAHOUCINE
@++

Merci Mathema pour votre aide c vraiment genereux de votre part

mathema a écrit:

3) pour montrer que f est continue sur IR il suffit de montrer qu'elle est continue sur [0,1]:

FAUX!
Il faut de plus ajouter que f(0)=f(1)... car tu as juste montré la continuité sur R/Z...

imane20 a écrit:

BJR à Toutes et Tous !!
Un éclairage différent ......
Ce que j'ai à te suggérer imane20 concernant cet exo est ceci :
Pour chaque k dans Z , on note I(k)=[k;k+1[
Alors il est clair que les intervalles ( semi-ouverts OU semi-fermés ) I(k) forment une PARTITION de IR , cela veut dire :
1) IR est la réunion de tous les I(k) lorsque k décrit Z
2) Si k et k' sont dans Z avec k<>k' alors I(k) et I(k') sont disjoints .
En définitive , pour tout x dans IR donné , il existe UN SEUL k dans Z tel que x soit dans I(k) et cet entier relatif k c'est tout simplement k=E(x) !!!!!
On a donc E(x)<=x<E(x)+1
Pour tout k dans Z , k<=E(x) alors x-E(x)<=x-k=|x-k|
Pour tout k dans Z , E(x)+1<=k alors E(x)+1-x<=k-x=|x-k|
Il n’est pas difficile d’établir alors que :
f(x)=Inf{x-E(x) ;E(x)+1-x}
On connait la relation Inf{a;b}=(1/2).{a+b-|a-b|}
D’où :
f(x)=(1/2).{1-2.|x-E(x)-(1/2)}=(1/2)-|x-E(x)-(1/2)|

f(x)=(1/2)-|x-E(x)-(1/2)| pour tout x dans IR

Tu retrouveras tous les résultats annoncés dans ton exo avec cette nouvelle expression de f(x).
Ce qui t'apporte une autre vision de ton exo !!!!

hamzaaa a écrit:

mathema a écrit:

3) pour montrer que f est continue sur IR il suffit de montrer qu'elle est continue sur [0,1]:

FAUX!
Il faut de plus ajouter que f(0)=f(1)... car tu as juste montré la continuité sur R/Z...

Salut hamza il est clair que la fonction f est periodique de periode 1 et forcement on a f(x)=f(x+1) et pour tout n£Z on aura f(n)=f(n+1)=0 et f(n/2)=1/2.
alors f est continue sur Z forcement c'est pas la peine de montrer. CAR generalement la periodité d'une fonction de periode T montre toujours que f(x+T)=f(x) et si [a;b] un intervalle tq b-a=T alors f(a)=f(b).
ALORS Où EST Le PROBLEME!!???

Je suis d'accord, mais il faut l'ajouter dans le raisonnement, le dire explicitement, c'est tout

alors tous est reglé

Merci a vs tt ;;