Continuité

coup de pousse svp!

Ce genre d'exercice se fait tjs (ou presque ) a l'aide de la definition de la limite voiçi une methode faisant appel au suites :
soit x de ]0,1],:
>si x rational , :f(x)=1/(p+q) ,or il existe une suite d'irrationels (sn)n convergente vers x alors f(sn)-->f(x) lorsque n-->+OO , mais lors f(sn)=o qq soit n de N (sn est une suite dirrationnele) donc f(x)=o absurde §§
DONC f n'et po continues aux pts rationnels de ]o,1].
>si x est irrationel , il existe" ( rn)=(Pn/qn)" une suite d'elemnts de Q n]o,1] convergente vers x :
on a : f(rn)=1/(pn+qn) , or x est irrationele positif alors forcement (qn) et (pn) (deux suites d'entiers divergent vers +OO , ( deja demontré dans le forum ) alors f(rn)-->O=f(x) lorsque n-->+OO, c a f continue en x :
en definitif:
f continue aux pts irrationnels de ]o,1]
discontinue aux pts rationnel de]O,1]
Ps: les resultas en gras sont deja demontré dans le forum ,

je vois bien que vs venez du trou noir ^^ ! merci mais n'existet-il pas d'autres démo sans avoir recours aux suites car apparament les suites viennent aprés la continuite au programme ! merci comme même mais vraiment j'ai rien compris ...

SparkOfGenius a écrit:

je vois bien que vs venez du trou noir ^^ ! merci mais n'existet-il pas d'autres démo sans avoir recours aux suites car apparament les suites viennent aprés la continuite au programme ! merci comme même mais vraiment j'ai rien compris ...

Ah oui ,
Ok je vais esseyer de poster une reponse n'utilusant que la df de a limites , au fait comme j'avais deja dit c'est tjs possible al'aide de la def ...;
bonne chance

A+

merci on attends ta demo alors !

SparkOfGenius a écrit:

merci on attends ta demo alors !

mais vos suggestions d'abord
je rigole incha2allah , si j'arrive A+

D'abord merci selfrespect pr votre aide!

Et cmm vs a dit SparkOfGenius s il a d otr demo un peu facil sans suite..

Merci

BJR à Toutes et Tous !!
Cet exo ressemble à celui posé ICI :

https://mathsmaroc.jeun.fr/agregation-f19/continuite-t6501.htm#51991

LHASSANE

Merci Mr Oeil_de_Lynx ;; le site contient la mm methode k'a fé selfrespect en haut

BJR imane20 !!
Selfrespect travaille avec les suites .

ThSQ a écrit:

Ca a l'air très simple ???

Si x=p/q € Q, f(x) = 1/q > 0
soit eps=1/2q
quel que que soit d > 0 il existe un réel non rationnel y tel que |x-y| < d et |f(x)-f(y)| = 1/q > eps

F n'est donc continue en aucun point rationnel

La démo de ThSQ fait appel aux epsilons etc ........et je crois que c'est ce que tu demandes toi !!
Je vais te poster une DEMO belle et qui n'est pas de moi B1 sur mais de Jean-Michel FERRARD ( Prof. de Prépas à PARIS ) !!!
Au passage voici le site hyper-intéressant de JMF :

http://www.mathprepa.fr/

LHASSANE

Merci infiniment Mr LHASSANE;

En faisant un tour dans les sujet de Monsieur abdelbaki , j'ai trouvé que tn exo est deja posté içi et je crois que M abdelbaki a utilusé la definition dans une partiedu raisonnement...
https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/continuite-t465.htm

bonne lecture


A+

Merci ifiniment Selfrespect;;

BSR à Toutes et Tous !
BSR imane20

J'ai retrouvé dans mes documents un exo de continuité ressemblant beaucoup au tien !!
Le voici :
Soit f la fonction réelle de la variable réelle x définie par :
f(x)=0 si x est IRRATIONNEL ,
f(0)=1 et
f(x)=(1/q) si le RATIONNEL non nul x s'écrit x=p/q avec q>0 et |p|^q=1
{ |p|^q=1 signifie que la fraction p/q est IRREDUCTIBLE ; ^ est le symbole du PGCD }
Montrer que f est continue en tout point irrationnel et discontinue ailleurs .

J'ai retrouvé une BELLE DEMONSTRATION que j'aimerais vous faire partager !!! Elle est de Jean-Michel FERRARD dont
je vous ai parlé dans le Post précédent .
C'est de la véritable chirurgie dans IR ( Axiome d'Archimède etc ...... ) .
La voici ( telle que je l'ai proposée à mes étudiants de SMI-SM en 2005 à la FSR avant de quitter mon Job..... ) :

numériser.jpg - 0.69MB

Of course enjoy it !!!!! Cette Démo est parfaitement adaptable à l'exo posé par imane20 .

LHASSANE

BJR à Toutes et Tous !!
BJR imane20 !!

Juste un petit commentaire sur cet exo et qui a son importance !!
Cet exo est très DIFFICILE !! Il n'est pas du niveau BAC , tenez-vous bien !!! L'Axiome d'Archimède se voit en Sup ou en 1ère Année de Fac à ma connaissance !!!!!
Par conséquent , si vous voulez manipuler la définition de la continuité à l'aide des " EPSILON & ETA " , faites le sur des exemples simples et accessibles pour votre niveau BAC .

LHASSANE

comment dire que s*q!/t est un entier ?

Conan a écrit:

comment dire que s*q!/t est un entier ?

BJR Conan !!
Si t<=q alors il est clair que q!=1.2.3.........t......q
On retrouve le facteur t dans q!
Donc s.(q!/t) est Bien un Entier !!!

LHASSANE

kel es L'Axiome d'Archimède svp ???

kel es L'Axiome d'Archimède svp ???

BJR maths-mehdi !!
L'Axiome d'Archimède dit en substance la chose suivante :
<< Pour tout a et b réels donnés avec b non nul , il existe un entier naturel N tel que N.|b|>a >>
IR est un corps totalement ordoné et possède cette propriété et on dit que IR est un corps archimédien .

LHASSANE

<<salut tout le mande je pense que ce exo est deja resolu par Mr oeil de lynx et par la meme methode que Jean-Michel FERRARD , nous avons deja un içi au forum et c'est pas la peine d'allzer chercher JMF en france 0

Amicalment
Oeil_de_Lynx a écrit:

Oeil_de_Lynx a écrit:

Exo difficile et qui trouve sa place ici !!!
MERCI ENCORE DE L'AVOIR POSE
La fonction que tu proposes est :
Discontinue en tout de Q et de ]0,1] .

En effet , si xo est un tel point alors on sait construire une suite de nombres IRRATIONNELS de ]0,1] qui converge vers xo ; cela résulte de la DENSITE de Q dans IR
<< Dans tout intervalle ]a,b[ non vide de IR , il y a une infinité de RATIONNELS et une infinité d'IRRATIONNELS >>
Soit donc {an}n cette suite d'irrationnels de ]0,1] qui converge vers xo alors on a pour tout n , f(an)=0 et donc :
Lim f(an)=0 lorsque n--->+oo et cette limite est <> de
f(xo)=1/(p+q) (si xo=p/q de manière réduite )
Cela c'est la partie facile !
La 2ème Partie suivra !


2ème Partie .
La fonction que tu proposes est :
Continue en tout de IR\Q et de ]0,1] .

En effet , soit xo irrationnel dans ]0,1]
et soit A un réel arbitraire A>0
il existe , d'après l'Axiome d'Archimède , un entier positif q tel que (1/q) < A .
Considérons les fractions de la forme (k/q!) et prenons p le plus grand des entiers k t.q (k/q!)<=xo<((k+1)/q!)
p est tout simplement la partie entière de xo.q! ; on a donc :
(p/q!)<=xo<((p+1)/q!)
On pose a= p/q! et b=(p+1)/q!
Tout élément x de I=]a,b[ vérifie :
ou bien x est irrationnel et alors f(x)=0
ou bien x est rationnel s'écrivant sous la forme réduite x=s/t
et son dénominateur t doit etre strictement supérieur à q
En effet si t<=q , on devrait avoir
p/q! < x < (p+1)/q! donc p < q!x < (p+1)
Or q!/t est un entier car t<=q donc q!x=s.(q!/t) est un entier STRICTEMENT COMPRIS entre 2 entiers consécutifs ; ce qui est ABSURDE !!
Donc t>q .
Il en résultera que :
0 < f(x)=1/(s+t) <1/t <1/q < A
Si on pose enfin B=(1/2).Inf{b-xo,xo-a} ,on aura :
|f(x)-f(xo)|=|f(x)| < A

CONCLUSION : Pour tout A>0 il existe B>0 tel que
|x-xo| < B ======>|f(x)-f(xo)| < A
C'est bien la définition de la continuité de f en xo !!!!!!
A+ LHASSANE


https://mathsmaroc.jeun.fr/analyses-f4/exo-d-analyse-t4975.htm

bonne continuation

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR à Toutes et Tous !!
BJR imane20 !!

Juste un petit commentaire sur cet exo et qui a son importance !!
Cet exo est très DIFFICILE !! Il n'est pas du niveau BAC , tenez-vous bien !!! L'Axiome d'Archimède se voit en Sup ou en 1ère Année de Fac à ma connaissance !!!!!
Par conséquent , si vous voulez manipuler la définition de la continuité à l'aide des " EPSILON & ETA " , faites le sur des exemples simples et accessibles pour votre niveau BAC .

LHASSANE

Bjr M Lhassane ,
on peut considerer que q=[1/epsilon]+1 (avec [x] désigne la partie entiere de x ) et continuer le travail

et pour l'existance de la suite , on considère la suite a_n=x_0+sqrt(2)/n

A+!

Merci Mr Oeil_de_lynx pour vos consignes;;

wé wé merci bc