Continuité !

F est une fonction numérique définie de [a;b] vers [a;b] tel que:
Quelque soit x et t de [a;b]² , l f(x)-f(t) l < l x-t l .
1-Démontrer que f est continue sur [a;b].
2- H est une fonction définie sur [a;b] tel que : h(x)= f(x)-x.
Démontrez que h est décroissante.

SVP, je ne veux pas de réponse complète, juste un coup de pouce.
Pour la 1ère question, j'ai fixé un A de [a,b] et j'ai utilisé la définition de la limite pour démontrez que f admet une limite dans A, mais ça ne mène pas à rien.
Merci d'avance.

slt ^^
premiere question : lim (x==>t)| x-t| =0
alors lim(x==>t) |f(x)-f(t)|=0 ==> lim (x==t)f(x)=f(t)
alors f est continue sur tout t£[a,b] !
deuxiéme question ! je crois que t'a commis une faute

master a écrit:

slt ^^
premiere question : lim (x==>t)| x-t| =0
alors lim(x==>t) |f(x)-f(t)|=0 ==> lim (x==t)f(x)=f(t) alors f est continue sur tout t£[a,b] !
deuxiéme question ! je crois que t'a commis une faute

Désolée, mais je crois que c'est faux, surtout la 2ème ligne.

je t'explique plus :
0<|f(x)-f(t)|<|x-t|
on a lim (x==>t) |x-t| =0
d'aprés théorème des gendarmes ==> lim(x==>t) |f(x)-f(t)|=0
==> lim(x==>t)f(x)=f(t) ==> continue ! c b1 claire sinn tu indique le lieu de la faute ^^ ! sinon votre point de vue n'aura aucun sens !

J'ai recitifié
Je ne peux pas utiliser le théorème que tu viens de citer, parce que c'est un exercice dans un devoir, tu vois

vs avez pas étudier dans votre classe :
g(x)=<f(x)<=h(x)
si lim (x==> a)h(x) =lim(x==>a)g(x) = l
alors lim(x==>a)f(x)=l

c b1 claire miss.Sakura tu n'a qu'a réviser la soluc ! meme la lecon !
Au plaisir !

Oui merci! C'est juste que je ne connaissais pas ce nom là (les gendarmes) !

C'est vrai , c'est simple ! Je suis allée un peu loin
C'est pas la peine de répondre à la 2ème question, j'y travaille.
Merci

je crois que c'est une fonction de lichiz
et qu'il faut debuter par f est continue sur (a,b) puis arriver à ce que tu veux (définition de continuité)

Bonsoir manouzi
C'est une fonction 1-lipschitzienne tu veux dire non ?
Gentiment !