continuité

Soit f:IR--> IR décroissante telle que x-->exp(x)f(x) est croissante.
Montrer que f est continue sur IR.

g(x) = e^x * f(x)

On prend xn suite croissante tendant vers x. Alors f(xn) est convergente (car décroissante et minore par f(x)) vers l >= f(x)

g(xn) est croissante et majoré par e^x f(x) donc convergente vers e^x l <= e^x f(x).

D'où l = f(x) et f est C° à "gauche".
On fait pareil à droite et on applique la caractérisation de la continuité par les suites.

ThSQ a écrit:

g(x) = e^x * f(x)

On prend xn suite croissante tendant vers x. Alors f(xn) est convergente (car décroissante et minore par f(x)) vers l >= f(x)

g(xn) est croissante et majoré par e^x f(x) donc convergente vers e^x l <= e^x f(x).

D'où l = f(x) et f est C° à "gauche".
On fait pareil à droite et on applique la caractérisation de la continuité par les suites.

Il reste à montrer que :
f admet une limite b à gauche d'un point a ssi qqs la suite croissante (x_n) de limite a la suite (f(x_n)) est de limite b.

C'est vrai je l'ai pas dit ...

Ca provient du fait :
si x_n -> x et x_n <= x alors on peut extraire une sous-suite croissante de x_n, x_f(n) tq x_f(n) -> x.

Ce n'est pas encore fini! voilà:
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:
1) f admet une limite b à gauche d'un point a
2) pour toute suite croissante (x_n) de limite a , la suite (f(x_n)) tend vers b.
3) pour toute suite (x_n) de limite a et majorée par a, la suite (f(x_n)) tend vers b.

Bonjour ;

Soit x £ IR ,

(*) pour h >= 0 , on a f(x+h) =< f(x) ( décroissance de f)
et exp(x+h).f(x+h) >= exp(x).f(x) (croissance de x --> exp(x).f(x) )
d'où f(x).exp(-h) =< f(x+h) =< f(x) .

(*) pour h =< 0 , on a f(x+h) >= f(x) ( décroissance de f)
et exp(x+h).f(x+h) =< exp(x).f(x) (croissance de x --> exp(x).f(x) )
d'où f(x). =< f(x+h) =< f(x).exp(-h) .

On voit ainsi que pour tous réels x et h ,

|f(x+h)-f(x)| =< |f(x)|.|exp(-h)-1| (sauf erreur bien entendu)

Remarques :

(*) La fonction h : x --> (exp(x)-1).f(x) est croissante (somme de fonctions croissantes)
et comme h(0)=0 on voit que f(x)>=0 pour tout réel x .

(*) Si f s'annule en un certain x elle s'annulerait partout ,
une fonction non nulle vérifiant l'hypothèse de l'exercice est donc nécessairement strictement positive.

(*) La relation |f(x+h)-f(x)| =< |f(x)|.|exp(-h)-1| montre en plus de la continuité que f est localement lipschitzienne. (sauf erreur bien entendu)

Salut abdelali, ca fait longtemps! j'espére que tout va bien.

Ca va bien merci abdelbaki , je suis toujours à safi (spé TSI) ,
j'espére que toute la famille va bien